微积分课件2.8闭区间上连续函数的性质教学讲义.pptVIP

§2.8 闭区间上连续函数的性质 一.最大值最小值定理 二.有界性 三.零点存在定理 四.介值定理 闭区间上的连续函数有很多重要的性质,它们是研究 函数性态的理论基础. 从几何上看，这些性质都是十分 明显的. 但这些性质的证明已超出本书范围. 定义2.8.1 若 f(x) 在区间I上有定义,如果 使得对一切 有 则称 f(x1) 为函数 f(x) 在区间 I 上的最大值（或最小值) 称 x1为最大值点（或最小值点). 函数的最大值和最小值统称为最值, 最大值点和最小值点统称为最值点. 这个定理的几何意义如图2.8.1所示: o x y y =?(x) a b 图2.8.1 如果ξ 使 ，则称 ξ为函数?(x) 的零点. 由定理2.8.1易得如下定理： 定理2.8.2 （有界性）如果函数?(x)在闭区间[a,b]上连 续，则?(x)在[a,b]上有界. 即存在常数M0，使得对任何 x∈[a,b]，都有| ?(x)| ≤M. 定理2.8.3 (零点存在定理) 若函数?(x)在闭区间[a, b]上 连续, 且?(a)与?(b) 异号(即?(a)?(b) 0), 则至少存在一点 若 ，则称 ξ为方程 ?(x)的根. 因而零点定理也称根的 存在定理. 证 函数 在闭区间[0, 1]上连续, 且 则 f (x)在闭区间[0, 1]上满足零点存在定理, 在开区间(0, 1)内 例1 即得证.