利率的期限结构 《金融数学》PPT教学讲义.pptVIP

1 利率的期限结构term structure of interest rate 孟生旺 中国人民大学统计学院 2 利率的期限结构（term structure of interest rate）：利率和与之相联系的到期期限之间的关系。 如果通过利率的期限结构，发现一项资产的定价过高或者过低，就有可能从中获得无风险收益，即套利（arbitrage）。 本章主要内容： 到期收益率 远期利率 即期利率 套利 3 到期收益率 到期收益率（yield to maturity）：资产的内部报酬率，是使得该项资产未来现金流的现值与其价格相等的利率。 4 到期日 年息票率 年实际收益率 债券的价格 1 2% 5.0% 97.1429 2 5% 5.5% 99.0768 3 6% 6.0% 100.0000 4 10% 6.2% 113.1073 5 4% 6.5% 89.6108 6 12% 6.8% 124.9398 7 0% 7.2% 61.4662 8 7% 7.3% 98.2293 9 4% 7.5% 77.6739 10 8% 7.6% 102.7331 表1：利率的期限结构（由10种不同到期日的债券组成） 5 收益率曲线：利率随着投资时期变化而变化的曲线 平价收益率曲线（par yield curve）：债券的息票率等于其收益率时相应的收益率曲线。此时，债券的价格将等于它的票面值。 8 用即期利率计算年金的现值： 9 例：假设1年期、2年期和3年期的即期利率分别为5％、7％和9％，请计算一项每年年末支付100元的三年期年金的现值。 解：该年金的现值为 10 如何求得即期利率 ？两种方法 通过市场上零息债券的价格计算： n 年期的即期利率＝ n 年期零息债券的收益率 2. 自助法（bootstrapping）：从一系列含有息票的债券的价格中计算得到。 由一年期债券的价格计算1年期的即期利率 利用这个信息及两年期债券的价格，计算2年期的即期利率 以此类推。在自助法中，要求应用收益率和即期利率计算的债券价格相等。 11 例：假设1年期和2年期的即期利率分别为5％和5.5126％。3年期债券的价格为100，息票率为6％。求3年期的即期利率。 解：3年期的即期利率满足下述方程： 12 与表1 对应的即期利率曲线 到期收益率是不同即期利率的一种加权平均。在该例中，收益率曲线是递增的，因此即期利率也是递增的。 13 远期利率 远期利率（forward rate）：未来两个时点之间的利率水平，由一系列即期利率所确定。 例：如果1年期的即期利率是5%，2年期的即期利率是5.2%，求其隐含的第一年末到第二年末的远期利率 f ？ 解： (1 + 5%)(1 + f ) = (1 + 5.2%)2 f = 5.4% 14 用远期利率计算债券的价格，则有： ft ——从 t 年到 t + 1 年的远期利率 15 例：假设0到1年的远期利率为4.9%，1年期的远期利率为 f1 = 5.2%，2年期的远期利率为 f2 = 5.4%。请计算一个年息票率为10%的三年期债券的价格。假设该债券的面值为100元。 解：该债券的价格为： 16 例：三年期债券的价格为100元，f0 = 5%, f1=6.0227%，计算2年期的远期利率。 解： 如何计算远期利率？类似于自助法。见下例。 17 与表1对应的远期利率曲线 在本例中，远期利率均大于相应的即期利率和到期收益率。但在现实市场中，远期利率小于即期利率和到期收益率的情况也是有可能发生的。 18 例：应用下面的收益率，计算第1、2、3年的远期利率。 解：应用收益率和远期利率计算的债券价格相等，故第1年的远期利率满足下述方程： 到期日 年息票率 年实际收益率 1 3.000% 12.000% 2 5.450% 12.000% 3 5.971% 12.000% 19 同理，可以计算第2年和第3年的远期利率 f1 和 f2： 可见，第1、2、3年的远期利率均为12%。 注：如果收益率曲线、即期利率曲线或远期利率曲线中的任意一个是平坦的，则其余的两个曲线也一定是平坦的，且收益率、即期利率和远期利率三者均相等。 20 应用远期利率求即期利率： 假设在 t 年末的现金流为 Ct，用即期利率计算其现值为 用远期利率计算其现值为 由于上述两个现值相等，故有： 21 f0 f1 f2 r3 0 1 2 3 应用远期利率求得即期利率： 22 应用即期利率求远期利率： 23 r2 f2 r3 0 1 2 3 应用即期利率求得远期利率： 24 例：1年期的即期利率为5.0%，2年期的即期