§3 氢原子知识讲稿.pptVIP

64 Ψ2 ：原子核外出现电子的概率密度。 电子云是电子出现概率密度的形象化描述。 x y z 例1. ?=0, m=0，有 ：W00 = (1/4?)，与 ? 也无关，是一个球对称分布。 电子云 电子云：用来描述原子或分子中电子在原子核外围各区域出现的概率。为了直观，把电子的这种概率分布状况用图像表示时，以不同的浓淡代表概率的大小，其结果如同电子在原子核周围形成了云雾，所以叫电子云。也就是说，原子中的、受束缚的电子不是像行星绕太阳运转那样在确定的时刻处于确定的位置的。（随机出现） 氢原子的激发态 2s态: n=2, l=0, m=0 节点 峰数=n－l 例2. ?=1, m=± 1时，W1,±1(θ) = (3/8π)sin2 ? 。在? = π/2时，有最大值。 在? = 0 沿极轴方向（z向）W1,±1 = 0。 z ? x y Z 例3. ? = 1, m = 0 时，W1,0(?) = {3/4π} cos2?。正好与例2相反，在? = 0时，最大；在? =π/2时，等于零。 z y x ? 2p态:n =2 , l =1 , m = +1,0,-1 n = 2, l = 1, m = 0 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1, m = 0 n = 2, l = 1 n = 2, l = 1 * §3 氢原子 1、径向波函数及其满足的方程 选择无穷远处为零势点，其库仑吸引势可表 为 量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。氢原子是最简单的原子，其Schrodinger方程可以严格求解，从而成为研究复杂原子及分子结构性质的基础，曾为量子力学发展提供了重要线索。 径向波函数满足方程 令 满足下列方程 利用复合函数求导方法可知 边界条件为 其中 分别为电子和质子的质量。 在以下计算中采用原子单位： 计算结果出来后再添上各物理量的相关单位。 此时方程化为 显然此方程有两个奇点： 中， 为正则奇点， 为非正则奇点。 上述方程可化为合流超几何方程求解。 根据前面所介绍的正则奇点和非正则奇点 的知识，显然方程 （2）当r→∞时 方程化为 故 且 （以后要用到） 但 不满足∞边界条件，故 因此方程 的解可以表为 问题： u(r)是何种形式？ 将上述形式的解代入上面的方程，得 令ξ=2βr，有 标准型为 其中参数为 此方程在 邻域有界的解为 合流超几何函数 其中 可以证明： 不满足束缚态边界条件,因此必须要求 中断为一个多项式。 这只有在α=0或负整数时可得到。 单纯α=0是没有意思的。故取 现在令 且 则 尹鸿钧，《量子力学》 由 及 得 添上能量自然单位 得氢原子能量本征值为 其中 是第一Bohr半径， 它是长度的原子单位，n为主量子数。 因为 以及 ξ=2βr 且 则相应的径向波函数可以写为 这里 （已添上r的自然单位） 归一化的径向波函数为 归一化系数为 满足的归一化条件为 加上描述角向部分的球谐函数，则氢原子 束缚态的本征函数为 最低几个能级的径向波函数是 根据能级公式 可以画出氢原子的能级图： 1 2 6 ? 5 3 4 赖曼系（紫外区） 巴耳末系(可见区) 帕邢系 布喇开系 氢原子能级图 -13.6eV -3.39eV -1.51eV -0.85eV Enl 主量子数 n 由能级算出的光谱线频率和实验结果完全一致 可以看出，n=1的能级掉得很低，这和库仑 势在r→0时奇异性（V→∞）有关。 处于基态的电子能量（n=1,l=m=0） 即氢原子的电离能级随n增大，能级的密度 越来越大。E≥0时，能量连续，得到游离态。 讨论： 1、能级的简并度 其中 对能级 及波函数 n为主量子数 由于 所以 相应的有 而对于给定的角动量l，磁量子数m可有2l+1 个取值，即 因此属于 能级的所有简并量子态 数目为 即对于给定的n（能级一定） 而对于给定的l (等差数列) 能级En的简并度为 比起一般中心力场的简并度2l+1要高。 一般中心力场粒子的能级 依赖于量子数 但库仑场中,En只依赖于n,但是 n=nr+l+1 故 能级En除了对m简并，对l也是简并的。 所以库仑场具有更高的对称性。 对称元素越多, 对称性越高，简并度越大 从径向方程的求解过程可以看出，这是 导致的。 En 的本征函数 本征函数?nlm (r, ?, ?)也就是在一定的主量子数n、角量子数l和磁量子数m时氢原子(或者说氢原子中的电子)所处的量子态。这个量子态的本征能量En 只决定于主量子数n，而与角量子数l和磁量子数m无关。