§3-4晶体的比热 固体物理 教程教案.pptVIP

§3 .4晶体的比热 一．概述 定容比热的定义为单位质量的物质在定容过程中，温度升高一度时，系统内能的增量，即 晶体的运动能量包括晶格振动能量Ul和 电子运动能量Ue这两种运动能量对比热 的贡献.分别以Cυl (晶格比热)和Cυe(电子比热)来表示。 除极低温下金属中的电子比热相对较大外，通常Cυl Cυe,所以本章仅讨论晶格比热Cυ＝Cυl＝C。 = ------------晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和 由格波态密度函数g(?)定义，上式也可写成为 (3-67) 其中?m为截止频率，且有 则定容比热为 把式（3-58’） (3-68) 代入上式得到 ∴关键和难点是求出 (3-48) 则比热成为?E和温度T的函数 (3-71) 在常用的、Cv显著变化的温度范围内，使比热的理论曲线尽可能好地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦温度?E。 对于大多数固体，?E在100～300K 范围。 三、Debye模型 把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N个初基原胞组成的三维单式格子(s＝1),仅有3支声学格波。 并设它们的相速都相同。因而三支格波的色散关系均是线性的 ?＝?pq 等能面为球面 可得格波态密度函数： (3-72) 由式（3－48 ） 代入式（3－68） (3-73) 式中截止频率?m又称为德拜频率，记为?D,它由格波 总数等于3N来确定： (3-74) 得 求得?D3＝（6π2 NVp3）/V (3-75) 引入德拜温度?D ??D＝kB?D 作变量代换 当 时 式（3－73） (3-76) 德拜温度?D往往由实验确定。在不同的温度下使Cv的理论值与实验值相符，从而确定?D。 又由(3-75)式 可改写成 四、实验和理论的比较 (一)、实验定律 1. 杜隆-珀替定律：对确定的材料，高温下的比热为常数，摩尔热容为3R（R为气体普适常数）。 2. 德拜定律：低温下的固体比热与T3成正比。 （二）高温情况 1 .与爱因斯坦模型比较 高温时 1， 当x1时，ex?1+x， 则式（3－71） 其中的 式（3－71）成为 Cv＝3NSkB 若所考查的晶体为一摩尔同元素的物质， 则NS=N0（N0为阿伏伽德罗常数） Cv=3N0kB=3R 即在高温下Einsten模型符合杜隆－珀替定律。 2 .与德拜模型比较 类似以上处理，式（3－76） 而其中的 所以式（3－76）成为 若所考察的晶体为一摩尔物质，则N＝N0， Cv＝3N0kB＝3R 即在高温下Debye模型 也与杜隆－珀替定律符合 45 （三）低温情况 低温时 1， 1, 式（3－71）即成为 1 .与爱因斯坦模型比较 T?0时，Cv以指数形式很快趋于零，在变化趋势上与实验符合。 T?0时，Cv?0是当年长期困扰物理界的疑难问题，所以爱因斯坦理论对这个问题的解决是量子论的一次胜利。 （原因是使用了谐振子能量的量子力学表示） 但爱因斯坦模型求出的Cv随温度的下降速度比T3规律要快，可见爱因斯坦模型在定量上并不适用于低温情况。 2 .与德拜模型比较 式中的积分上限可近似取为无穷大，则积分成为 (3-77) 低温下?D/T1，式（3－76） 即Cv?T3，与德拜实验定律相符合。 （3－77‘） （四）两种模型与实验结果符合或偏  离的原因分析 1 .高温情况 晶体内能（与温度有关部分）＝晶格振动能 ＝已激发格波的能量之和： (3-78) T↑↑时 1， ＝（1＋ －1）－1＝ (3-59) 随着温度的升高，各格波的平均声子数会增多。温度足够高时，所有格波都已充分激发。