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对数学归纳法教学的新认识 /gzsx/gxrz/200910/604437.htm 杭州市普通教育研究室 李学军 ? 如果仅以能不能用数学归纳法解决一些简单问题为标准，那么，对该节课的教学是没有畏惧，并且是容易完成的，因为，在这一标准下的教学，只要让学生通过各种题型的操练，学会第一步证什么，如何证；第二步证什么，如何证，就可以了。这样训练出来的学生，能知道数学归纳法的步骤，也会套用数学归纳法证明一些数学命题，但不一定知道，为什么要这样做？这样做可行的理由、依据是什么？这样的教学看似容易完成，但被动地训练使学生可能会增添的是：数学是机械的、枯糙的感受；一定会丢失的是：对数学以及数学方法、思想的进一步认识与理解。 在新课程实验中，上面现象仍然存在，问题没有得到根本性地改进，这里有教学经验延用的因素，也存在对付高考需要这一理由，但更主要的原因应该是：教师对数学归纳法认识上的不到位，对数学归纳法教学难点的认识与解决方法的研究不足，以及对教材使用研究的重视程度不够。 通过这次听课、评课和反思活动，产生了对“数学归纳法”教学的新认识。 一、数学归纳法是一种证明方法 数学思想与数学方法分属两个层次。思想具有统领性、指导性，不仅不好操作，不好精确地表达，也难以给出公认的定义，但它确实存在于解决问题的过程中、存在于数学活动之中，它应用面广泛，能高屋建瓴，宏观引领，调用方法、概括本质。 数学方法是解决数学问题的，一般只能在某个领域起作用，具有一定适用面，是针对某类或某方面问题的解决方法，同时，方法一定具有可操作性，即一定存在使用的流程或者说要执行的步骤，这可以借助解决问题显示、概括出来。 数学归纳法一般来讲，是证明具备了条件与结论，且与正整数有关的问题的方法。由于该方法适用领域具体，因此，没有必要提升为数学归纳法思想，但它作为一种数学方法决定了它的教学要求：必需要明确引入它的必要性、必需要明确它适用的领域，必需要明确它是如何使用的（操作步骤）。同时，作为一种证明方法，会按步骤证明问题并不难，难的是对其正确性的依据的理解，因此，数学归纳法的教学要追求，不仅要能用此法证明问题，而且要知道此法可行、可靠的理由。 数学归纳法是一种数学方法，并不是在形成归纳思想，有时我们会运用归纳，从与正整数有关的问题的特殊情况入手，猜想出具有一般性的结论，这一过程实际是把问题的条件与结论都显现出来，使问题转化为数学归纳法可证的类型。引导我们这样做的思想是：化归与转化。 数学归纳法能证明的问题的类型不少，也为一线教师所熟知。而用数学归纳法证明任何与正整数有关的各类型问题时，其原理是相同的，都是“两个步骤，一个概括”，因此证明时，都需要化归转化到数学归纳法特有的模型“两个步骤，一个概括”，这是由数学归纳法原理决定的，也表明数学归纳法证明的过程，实际是一次运用化归与转化思想的建模活动。可见，数学归纳法的使用过程，是有数学思想指导的，也是促进数学思想形成的数学活动，因此，数学归纳法的教学过程，体现数学思想是需要的，也是可行的。 这些认识教师首先要清楚，这样才可能通过教学使学生也明白，才有可能改进对数学归纳法的教学，发挥其可起的教学作用。 二、数学归纳法的教学难点是什么？ 在数学归纳法的学习中，对数学归纳法的作用不难理解，对方法的操作步骤也不难掌握，但对其真实可靠的原因却不一定能理解到位，不理解原理的学习是机械的，获得的知识只是表层的。 从数学知识角度看，数学归纳法以“归纳公理”为理论基础，得到的结论是真实可靠的。而高中数学教学对数学归纳法是从应用角度组织教学的，要求的是“会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的命题”，并不需要构建其数学体系，因此，教学是在脱离“归纳公理”的条件下进行的，教学的难点会发生在对数学归纳法实质的理解，具体表现在：不了解第二个步骤的作用，不会根据归纳假设作出证明，不能真正理解该步骤需要完成的证明的作用． 数学归纳法教学是让学生知道、会用操作步骤？还是帮助学生理解数学归纳法的实质？即绕开难点还是克服难点？绕开难点的教学容易做到，但这样的教学不仅留有知识缺陷，而且会失去数学归纳法教学过程可以产生的教育价值。克服难点能形成一个研究指向，不仅需要认识难点，而且需要研究形成克服难点的操作方法，这无疑是在促进教师的专业发展，也有可能使数学归纳法的教学价值得到充分发挥，使数学归纳法的教学明明白白，清清楚楚。 基于克服难点的研究，得出下列认识： 新方法的形成需要做在学生原有知识结构的基础之上。在该节课教学前，已经学习过推理与证明，这为本节课的教学提供良好的起点。 数学方法的引入或发展，常常是由不够、不行、不便等现状驱动。利用教材提供的问题，安排学生活动，通过解决问题，直接面对方法的不够、不行，这能产生驱动。从而使学生在原