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浅谈数形结合思想方法在解题中妙用 　　数学研究的对象是客观世界的空间形式和数量关系，即研究“数”与“形”的科学，因此数形结合思想贯穿于整个数学知识体系当中。 数形结合的思想方法应用广泛，巧妙运用数形结合的思想方法对解决一些抽象的数学问题，不仅直观而且易于发现解题途径，还能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，可起到事半功倍的效果。本文结合笔者的教学实践从以下几个方面阐述数形结合思想方法在解题中的妙用。 　　一、解决集合问题 　　利用韦恩图法解决集合之间的关系问题。一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 　　 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 　　分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如右图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。用n表示集合的元素，则有： 　　 即： 　　∴ ，即同时参加数理化小组的有1人． 　　二、解决不等式问题 　　1.求不等式的解集 　　例2. 　　解：法一、常规解法： 　　 　　 　　 　　法二、数形结合解法： 　　 　　 　　显然，利用函数的图像可以使解题过程免去分类讨论，学生较易理解。 　　2.证明不等式 　　例3.求证： （a与c、b与d不同时相等） 　　分析：考察不等号两边特点为，其形式类同平面上两点间距离公式.用两点间距离公式模型构造辅助图形，找出其蕴含几何关系，使证明变得简单多了。在平面直角坐标系中设A（a,b）,B(c,d),O(0,0).如图｜AB｜＝ ， 　　｜AO｜＝,｜BO｜＝ 　　,当A、B、O三点不共线时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜. 　　当A、B、O三点共线，且A、B在O点同侧时，｜AB｜＜｜AO｜+｜BO｜. 　　当A、B、O三点共线，且A、B在O点异侧时，或A、B之一与原点O 　　重合时，｜AB｜＝｜AO｜+｜BO｜ 　　综上说明不等式 成立. 　　三、解决函数问题 　　在函数教学中，函数及其图象为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图象是从“形”的角度反映变量之间的变化规律，利用图象的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。根据函数图象讨论函数的性质，借助函数图象的直观解决实际问题，使学生学得轻松有趣。既可以提高学生的识记能力，又可以加深对函数的图象和性质的理解，使数与形在学生的头脑中有机地结合起来。 　　1.一元二次方程根的分布问题 　　例4、当 为何值时，方程 的两根在 之内？ 　　分析：显然 ,我们可从已知方程联想到相应的二次函数的草图，从图像上我们可以看出，要使抛物线与 轴的两个交点在 之间,必须满足条件: 　　 即 　　从而可解得 的取值范围为 且 　　2.方程的解的个数问题 　　例5、设方程 ，试讨论 取不同范围的值时其不同解的个数的情况． 　　分析：我们可把这个问题转化为确定函数 与 图像交点个数的情况，因函数 表示平行于 轴的所有直线，从图像可以直观看出 　　 　　①当 时，与 没有交点，这时原方程无解;②当 时，与 有两个交点,原方程有两个不同的解;③当 时，与 有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当 时，与 有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当 时 与 有两个交点，原方程不同解的个数有三个． 　　3．比较函数值的大小问题 　　一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较．如： 　　 例6、试判断 三个数间的大小顺序 　　分析：这三个数我们可以看成三个函数 在 时，所对应的函数值．在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当 时，所对应的三个点 　　 的位置，从而可得出结论： ． 　　 　　 　　 　　4．求函数的最值问题 　　根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，在分析其代数含义的基础上揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙和谐地结合起来．充分利用这种结合，从图形中观察寻找解题思路，不失为一种好的策略．请看下面几个巧妙利用图形求最值的例子利用斜率公式求函数的值域 　　例7. 　　解： 　　 　　 　　 　　例8. 　　分析： 　　转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式子中有两个根号，故可采用两步换元。 　　解： 　　 　　 　　第一象限的部分（包括