找准数学题中隐含条件“着眼点”.docVIP

找准数学题中隐含条件“着眼点” 　　江苏金湖教师进修学校211600 　　 　　摘要：本文将数学题中的隐含条件从多方位、多角度进行分析，并将其隐含条件运用到实际例题中，使题目难度降低，同时还就怎样挖掘题目的隐含条件提出了行之有效的解决方法. 　　关键词：挖掘隐含条件；解决数学难题；方法 　　 　　在某些数学命题的题设中，已知条件或欲求结论可能隐含某些信息，或在解题过程中所得到的结论也隐含有大小关系、取值范围等，我们称之为“隐含条件”. 学生在解题时往往会忽视隐含条件，造成解题错误，或者认为题目缺少条件而束手无策. 本文就怎样挖掘题中的隐含条件，捕捉解题的“蛛丝马迹”，谈一些我的个人意见. 　　 　　[#8681;]挖掘定值 　　数学问题中的条件有的隐含在有关概念、知识及已知条件之中，含而不露，稍不留心便导致解题出错. 如某些字母初看似乎是一个变量??但经过分析推断才发现该字母是常数；另外有些已知条件中隐含着定值，这就需要我们去挖掘. 　　例1已知函数f（x）＝ax2+bx+c，有f（－1）=0，且对任意x∈R都有x≤f（x）≤（x2+1）成立，求函数f（x）的表达式. 　　解析由于对任意x∈R都有x≤f（x）≤（x2+1）成立，令x=1得f（1）=1，这就是题目隐含的定值，即有a+b+c=1；又f（-1）=0，即a-b+c=0. 联立得a+c=，b=，则f（x）=ax2+x+-a, 　　又f（x）≥x恒成立，即ax2-x+-a≥0恒成立， 　　所以a＞0，且Δ= 　　2-4a 　　-a≤0， 　　即a- 　　2≤0，故a=，b=，c=，所以f（x）= x2+x+. 　　例2△ABC的三边a，b，c和面积S满足关系S=c2-（a－b）2，且a+b=2，求面积S的最大值. 　　解析由三角形面积公式S=absinC，这里角C似乎是一个变量，事实上，由于S=c2-（a－b）2，由面积公式及余弦定理知：absinC=a2+b2-2abcosC-（a－b）2， 　　所以2ab（1-cosC）=absinC； 　　所以=， 　　故tan=， 　　可得sinC===. 　　又因为a+b=2， 　　所以S=absinC=ab≤ 　　2=，当且仅当a=b=1时，Smax=. 　　 　　[#8681;]挖掘定点 　　学生在解决部分解析几何题时感觉入手容易，但要完整解答却困难重重. 除基本功不扎实外，其中一个重要原因是他们没有挖掘出题中的隐含条件. 其中直线过定点就是一个值得注意的隐含条件. 　　例3 已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4与椭圆C：4x2+25y2=100，试证当m∈R时直线l与椭圆C必有两个公共点. 　　证明直线l即x+y－4+m（2x+y－7）=0，由于m∈R，要使此式恒成立，只须有x+y－4=0且2x+y－7=0，将二方程联立，解得x=3，y=1，即直线l恒过定点（3，1），由于4×32+25×12=61＜100，即点（3，1）在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个公共点. 　　例4设A和B为抛物线y2=4px（p0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线. 　　解析设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1=，x2=，由OA⊥OB得?=－1， 　　即?+y1y2=0， 　　所以y1y2=－16p2， 　　又因为A，B在抛物线y2=4px上，故y=4px1，y=4px2，二式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4p（x1－x2）， 　　所以直线AB的斜率为kAB==，故直线AB的方程为y－y1=?x- 　　，即y=x+y1－=?x+=（x－4p）（将y1y2=－16p2代入），故直线AB恒过定点Q（4p，0），设M（x，y），由于OM⊥AB即OM⊥MQ，故M的轨迹为以OQ为直径的圆，其轨迹方程为（x－2p）2+y2=4p2（x≠0）. 　　 　　[#8681;]挖掘相等关系 　　有些数学题中隐含着等式关系，它提示了该类数学问题的本质，挖掘出这些等式关系，就是我们解答此类问题的切入点. 　　例5设f（x）=，则和式f 　　+f 　　+f 　　+…+f 　　的值是多少？ 　　解析由f（x）= ，f（1-x）=，故f（x）+f（1-x）=1（配对等式关系），易得所求值为500. 　　例6已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根，求α的值. 　　解析观察一元二次方程的常数项为1，又tanα是方程x2+2xsecα+1=0的较小根，则方程的较大根是cotα（挖掘出等式tanα?cotα=1）， 　　由于tanα+cotα=-2secα， 　　即=-，