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巧用单调性处理一类无理函数值域 　　在中学数学教学中函数的值域问题一直以来都是一个重要的问题．对型如y=mg(x)+? 　　nf(x)其中λf(x)+g(x)=2c（c为常数）λ＞0的无理函数的值域问题还没有一个统一的处理．本文从利用单调性角度谈谈这类无理函数的值域的处理，期望得到一个统一的方法．? 　　结论1：若m∈R?+,n∈R?+，f(x)=? 　　mx+c+nc－x? 　　在区间［－c,m?2－n?2m?2+n?2c］上单调递增．? 　　在区间［m?2－n?2m?2+n?2c,c］上单调递减．? 　　证明： 由f′(x)=m2x+c－n2c－x若f′(x)≥0则m2x+c≥n2c－x? 　　即m?2x+c≥n?2c－x? m?2(c－x)≥n?2(x+c)解出x≤m?2－n?2m?2+n?2c? 　　结合函数定义域［－c,c］得单调递增区间? 　　［－c,m?2－n?2m?2+n?2c］，? 　　单调递减区间［m?2－n?2m?2+n?2c,c］．? 　　同理可以证明? 　　结论2：若 m∈R?－,n∈R?－，f(x)=? 　　mx+c+nc－x的单调递增区间为? 　　［m?2－n?2m?2+n?2c,c］，单调递减区间为［－c,m?2－n?2m?2+n?2c］? 　　结论3： 若m∈R?+,n∈R?－时，y=mx+c在［－c,?+∞?）上是增函数? 　　而y=nc－x在（－∞,c］上也是增函数所以f(x)=mx+c+nc－x在定义域［－c,c］上是增函数．? 　　若m∈R?－,n∈R?+时，y=mx+c在［－c,?+∞?）上是减函数? 　　而y=nc－x在（－∞,c］上也是减函数所以f(x)=mx+c+nc－x 在定义域［－c,c］上是减函数．（证明略）? 　　下面以具体的例子说明这类无理函数值域的处理．? 　　例1求函数y=3x+1+22－x的值域．? 　　解：先作变换，由(x+1)+(2－x)=3可令x+1=t+32则函数化为? 　　y=3t+32+232－t（－32≤t≤32），? 　　由结论1知当－32≤t≤3?2－2?23?2+2?2×32，? 　　即－32≤t≤1526时y=3t+32+? 　　232－t是增函数，? 　　此时f(－32)=23，f(1526)=39，? 　　所以23≤y≤39，? 　　由结论2知当3?2－2?23?2+2?2×32≤t≤32，? 　　即1526≤t≤32时y=3t+32+232－t是减函数? 　　此时f(32)=33， 所以33≤y≤39? 　　所以y=3x+1+22－x的值域为? 　　［23,39］? 　　例2 求函数y=3x?2－1+4－3x?2的值域．? 　　分析：将函数转化为f(x)=mx+c+nc－x形式y=3x?2－1+343－x?2? 　　由(x?2－1)+(43－x?2)=13换元，? 　　令 x?2－1=t+16则函数化为? 　　y=3t+16+316－t（－16≤t≤16）? 　　解：由结论1知，当－16≤t≤3?2－3?23?2+3?2×16即－16≤t≤112时? 　　函数y=3t+16+316－t为是增函数，? 　　f(－16)=1，f(112)=2， 所以1≤y≤2? 　　由结论2知当3?2－3?23?2+3?2×16≤t≤16,? 　　即112≤t≤16时? 　　函数y=3t+16+316－t为是减函数? 　　f(16)=3，f(112)=2，? 　　 所以3≤y≤2．? 　　综上：y=3x?2－1+4－3x?2的值域为［1,2］．? 　　说明：在转化时也可以化为y=33x?2－3+4－3x?2类似处理．? 　　例3 求函数y=32x?2+8x?2+1+? 　　212－x?2－4x?2的值域．? 　　分析：注意到前后两个根式都有x?2+4x?2故可以作代换，变为前面结论的形式．? 　　解：将函数变为y=32x?2+4x?2+12+? 　　212－x?2－4x?2? 　　（也可以变为y=32x?2+8x?2+1+? 　　224－2x?2－8x?2）? 　　由(x?2+4x?2+12)+(12－x?2－4x?2)=252换元令x?2+4x?2+12=t+254函数化为? 　　y=32t+254+2254－t由x?2+4x?2≥4结合定义域有4≤x?2+4x?2≤12．? 　　所以－74≤t≤254．? 　　由结论1知，当－74≤t≤(32)?2－2?2(32)?2+2?2×254，即－74≤t≤17544，? 　　函数y=32t+254+2254－t是增函数．? 　　f(－74)=9+42，f(17544)=511．?