天津理工大学《离散数学》教学教案(第四章节).pdfVIP

《离散数学》教学教案  第 4 章 映射（函数） 学习目标： 1．掌握函数（映射）、函数的前域、函数的值域、函数的相等、入射、满射、 双射、恒等映射、反函数、复合函数的概念； 2 ．掌握函数复合运算的性质；掌握函数与一般关系、反函数与逆关系的区 别； 3 ．掌握函数是入射、满射、双射的证明； 4 ．掌握集合的基数、可数集和不可数集的概念及集合基数的比较。 主要内容： 1．映射的概念 2 ．特种映射 3 ．复合映射和逆映射 4 ．置换 5 ．基数 重点： 1．函数与一般关系、反函数与逆关系的区别； 2 ．函数的复合运算的性质； 3 ．函数是入射、满射、双射的证明。 难点： 1．函数是入射、满射、双射的证明。 教学手段： 通过多个实例的精讲帮助同学理解重点和难点的内容，并通过大量的练习使 同学们巩固和掌握函数与一般关系、反函数与逆关系的区别、函数的复合运算及 其性质及入射、满射、双射的证明方法。 习题： 习题 4.1：1，3；习题 4.2：3，4，7；习题 4.3：2 ，5，6；习题 4.4：2，4； 习题4.6：1，2。 4.1 映射（函数）的概念 考虑下面几个由图 4-1 所示的集合X 到集合Y 的关系。 113  《离散数学》教学教案  图 4-1 在这６个关系中， 后４个关系R ，R ，R ，R 与R ，R 不同， 它们都有下面两 3 4 5 6 1 2 个特点： （1） 其定义域为X ； （2 ） X 中任一元素a 对应唯一一个 Y 中的元素b 。 我们称具有这样两个特征的关系为映射（函数）。 定义 4.1.1 设 X , Y 是两个任意的集合，而 f 是 X 到 Y 的一个关系，若对每一个 x X ，都存在一个唯一的y Y ，使得 x , y f ，则称关系f 为X 到Y 的映射(Mapping)， 记作 f ：X Y f 或X Y 若 x ,y f ，则称x 为自变量(Independent Variable)，称y 为映射f 在x 处的值 （或像 （Image ））， x ,y f 亦可记作y f (x ) ，f 的值域ran f Y ，有时也记为Rf ，即 Rf {y y Y (x )(x X y f (x ))} 或记为 f (X ) {f (x ) x X } 114  《离散数学》教学教案  集合 Y 称为f 的共域，Rf 亦称为映射f 的像集合。对于 A X ，称f (A) 为A 的像（Image of A ），定义为 f (A) {f (x ) x A} {y x (x A y f (x ))}　 显然,，f () , f ({x }) {f (x )}(x X ) 。 映射f 是X 到Y 的特殊的二元关系，其特殊性在于： （1）dom f X ，即关系f 的前域是X 本身，而不是X 的真子集。 （2 ） 若 x ,y f ，则映射f 在x