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《机器人学》 战 强 北京航空航天大学机器人研究所 第三章 机器人的位姿描述与坐标变换 第三章 机器人的位姿描述与坐标变换 3-1 刚体位姿的数学描述 刚体位置： 刚体姿态： 单位主矢量 ￥ ￥假设机器人的连杆和关节都是刚体￥ ￥ 9个元素，只有3个独立， 满足6个约束条件: ☺ ☺ 刚体的位置和姿态： R是单位正交阵 姿态矩阵R的特点： j Z j X j Y Oj 例：某刚体j在参考系i中的 位置 姿态 10 6 3-2 坐标变换（点的映射） 1、坐标平移（坐标系方位相同） j Z j X j Y P Oj 沿着不同轴向的组合平移： 已知点P在j坐标系的坐标，平移j至i，求点P在i坐标系的坐标。 三坐标的直角坐标机器人 适用的机器人类型举例（有平移关节） 15 例: 已知 求 P点在i坐标系中的坐标。 解答： 2、坐标旋转（坐标系原点相同） Z i X i Y i P 坐标系j由坐标系i旋转而成 求点P在i坐标系的坐标： 已知点P在j坐标系的坐标： P ☺ ►姿态矢量矩阵 坐标系j相对于i的方位 旋转矩阵的性质： 旋转矩阵 ►绕一个坐标轴旋转的转动矩阵 1）RX 2）RY 3）RZ 转动矩阵的特点： (1) 主对角线上有一个元素为1，其余均为转角的余弦/正弦； (2) 绕轴转动的次序与元素1所在的行、列号对应； (3) 元素1所在的行、列，其它元素均为0； (4) 从元素1所在行起，自上而下，先出现的正弦为负，后出现的为正，反之依然。 ►绕多个坐标轴旋转的转动矩阵 1）、绕固定坐标系旋转 2）、绕运动坐标系旋转 ZYZ欧拉角 注意：多个旋转矩阵连乘时，次序不同则含义不同。 1）绕新的动坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从左往右乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相同； 2）绕旧的固定坐标轴依次转动时，每个旋转矩阵要从右往左乘，即旋转矩阵的相乘顺序与转动次序相反。 证明： 1）绕运动坐标系旋转 2）、绕固定坐标系旋转 证明与讨论: 适用的机器人类型举例（有旋转关节） 例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z轴转30度, 假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标系A中的描述PA. 3、坐标变换综合（平移+旋转） 推导(中间坐标系C)： I（旋转）: c与j 原点重合，c与i姿态相同 II（平移）: c与i 原点重合 问题：是否可以先平移后旋转？ 推导(中间坐标系C)： I（平移）: c与i原点重合，c与j姿态相同 II（旋转）: c与i 姿态相同 未知 例1: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z轴转30度,再沿A的X轴移动10个单位,并沿A的Y轴移动5个单位.假设点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标系A中的描述PA. · 3-3 齐次坐标与齐次变换 1、齐次坐标 齐次坐标 直角坐标 1）点的齐次坐标： 非零的比例因子 2）坐标轴方向的齐次坐标： X轴： a,b,c称为方向数 Y轴： Z轴： 坐标原点 无意义点 A Z A X A Y Oi 2、齐次变换 点P在i坐标系中的齐次坐标： 点P在j坐标系中的齐次坐标： 旋转矩阵与平移向量构成的齐次变换矩阵： 齐次变换矩阵 表示了坐标系j相对于坐标系i的位姿 的含义： ►旋转的齐次变换 ►平移加旋转变换 ►平移的齐次变换 例2: 已知坐标系B初始位姿与A重合,首先B相对于坐标系A的Z轴 转30度,再沿A的X轴移动10个单位,并沿A的Y轴移动5个单位.假设 点P在 坐标系B的描述为PB={3,7,0}T,求它在坐标系A中的描述PA. 解法1: 解法2: 练习题1： 已知坐标系A初始位姿与B重合,首先A相对于坐标系B的Z轴转 30度,再沿B的X轴移动10个单位, 再相对于A的Y轴转60度，并沿 A的Z轴移动5个单位. 假设点P在坐标系A的描述为 =[12,0,4]T, 求它在坐标系B中的描述 ； 解法1: 3-4 旋转变换通式 1、旋转矩阵通式： 旋转矩阵 1)、 坐标系j 相对于 i的姿态 2)、定义两个坐标系i’和j’，i与i’固连， j与j’ 固连； i’和j’ 的Z轴与矢量K重合，旋转前，i与j重合，i’与j’ 重合。 绕通过原点的任意单位矢量K转 角的旋转矩阵 3)、 K 绕K转 角 j’相对于i’的Z轴转 角 旋转变换的尺寸链图： ★ 利用旋转矩阵的正交性质: 假设： 整理得： 旋转变换通式 讨论： （1） （2） （3） 例：坐标系B原来与A重合，将坐标系B绕过原点O的轴线 转动 ，求旋转矩阵 解答： 1） 2） 3）带入旋转通式得： 2、等效转轴与等效转角 转轴和转角 旋转矩阵 1 2？ 1）将方程两边矩阵的主对角