第四章 根轨迹法 matlab simulink和 与控制系统仿真 第三版 课件.ppt

确定分离点d 解方程得 （舍去） 确定起始角 确定根轨迹与虚轴的交点。 令 代入上式 解得 闭环系统的特征方程为 图4－17 例4－7根轨迹 十、根之和与根之积 如果系统特征方程写成如下形式 闭环特征根的负值之和，等于闭环特征方程第二项系数 。若 根之和与开环根轨迹增益 无关。 ≥ Tips 闭环特征根之积乘以 ，等于闭环特征方程的常数项。 在开环极点已确定不变的情况下，其和为常值，因此， 的系统，当增益Ｋ的变动使某些闭环极点在s平面上向左 移动时，则必有另一些极点向右移动，这样才能保证极点之和为常值。这对于判断根轨迹的走向很有意义。 ≥ 例4－8 已知单位负反馈系统开环传递函数为 试画出 时的闭环系统的概略根轨迹，并求出 时的闭环传递函数及闭环极点。 解：根据根轨迹绘制法则，按步计算： n=4，有四条根轨迹； 起始于开环极点(0)，(-20)，(-2-j4), (-2+j4)，终于无穷远处； 实轴上的根轨迹在（0，-20）区间； n=4,m=0,则有4条根轨迹趋于无穷远，它们的渐近线与实轴的交点和夹角为 取 根轨迹的起始角。 解得 分离点坐标 。 根轨迹与虚轴交点。 系统特征方程 解得 则两个闭环极点 令 代入 此时特征方程为 利用综合除法，可求出其他两个闭环极点 图4－19 例4－8根轨迹图 常见闭环系统 根轨迹图 图 4-18 4－3 开环零、极点变化时的根轨迹 一、开环零点变化时的根轨迹 设系统开环传递函数为 (4-55) 闭环特征方程为 (4-56) 等效变换成 返回子目录 令 （4-57） 显然，利用式(4－57)就可以画出关于零点变化的根轨迹，它就是 开环零点变化的根轨迹。 例4-9 已知负反馈系统的开环传递函数为 试画出 从 变化时的闭环概略根轨迹。 系统的特征方程为： 等效开环传递函数为 绘出的根轨迹如右图所示。 图 4-20 二、开环极点变化时的根轨迹 设一负反馈系统的开环传递函数为 现在研究 变化的根轨迹。 等效开环传递函数为 根据上式可画出 变化时的根轨迹。 已知系统的开环传递函数为 试绘制当开环增益K为 时，时间常数 变化时的根轨迹。 例4-10 解： 系统特征方程为 等效开环传递函数为 等效开环传递函数有3个零点，即 0,0, -1 ;2个极点，不同K值可计算出不同极点。 按照常规根轨迹的绘制法则可绘制出根轨迹如图4-21所示。 图4-21 例4-10根轨迹图 三、零度根轨迹 如果系统的根轨迹方程的右侧不是“-1”而是“+1”，这时根轨迹方程的模值方程不变，而相角方程右侧不再 是 ，而是 ，因此这种根轨迹称为零度根轨迹。 图 4-22 特征方程 根轨迹方程 设某正反馈系统如下所示。 图 4-23 从而相角方程及模值方程相应为 使用常规根轨迹法绘制零度根轨迹时，对于与相角方程有关的某些法则要修改 实轴上某一区域，若其右方开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是根轨迹。 根轨迹的渐近线 计算公式不变。 根轨迹的起始角与终止角 分离角与会合角 除上述四个法则外，其他法则不变。 四、实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。 证明： 设一系统开环零、极点分布如图。 图 4-6 在实轴上任取一试验点 代入相角方程则 所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点。 图 4-6 一般，设试验点右侧有l个开环零点，h个开环极点，则有关系式 证毕 如满足相角条件必有 所以，l-h必为奇数，当然l+h也为奇数。 例4－3 设一单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K(s+1)/[s(0.5s+1)],求 时的闭环根轨迹。 解：将开环传递函数写成零、极点形式 最后绘制出根轨迹如图4－7所示。 法则一，有两条根轨迹。 法则二，根轨迹对称于实轴 法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、－2，一条终于有限零点－1，另一条趋于无穷远处。 法则四，在负实轴上，0到－1区间和－2到负无穷区间是根轨迹。 按绘制根规迹法则逐步进行： 图4－7 例4－3根轨迹 五、根轨迹的渐近线 渐近线与实轴正方向的夹角为 渐近线与实轴相交点的坐标为 例4-4 已知系统的开环传递函数 试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。 极点 解： 零点 按照公式得 以下是几种开环传递函