第六章 弹性力学 柱形体扭转.ppt

第六章 柱形体的扭转 柱体的扭转是工程中广泛存在的一类实际问题。 材料力学中研究了圆截面杆的扭转，采用了平面假设。 对非圆截面杆的扭转，一般横截面不再保持平面，即截面产生翘曲。 对两端承受扭矩的等截面直杆，如截面的翘曲不受限制，这类扭转称为自由扭转；如截面的翘曲受到限制，则称为约束扭转。约束扭转条件下，杆中会产生附加正应力。 本章讨论任意截面柱形杆的自由扭转。 空间问题的基本方程： 物理方程 相容方程 边界条件： §6-1 等截面直杆的扭转 设等截面直杆，体力不计，在两端平面内受到转向相反的两个力偶矩M作用。 分析：由材料力学结果，柱体在扭转时，纵向纤维间无挤压，也不伸缩，则： 第三式可写成 将式（6-1），式（6-2）代入相容方程（4-b），前四式自然满足，其余两式为 （一）边界条件分析 由式（6-2），在应力函数 上加减一个常数，对应力分量没有影响。故在单连通截面（即实心杆）的情况下，可取 2. 在杆的任一端面，l=m=0，n=-1，由应力边界条件式，有 小结：对于扭转问题，只需式（6-3）和式（6-4）求出应力函数 ，并由扭矩公式（6-5）或（6-6）定出所含的待定常数，再由式（6-2）求出应力分量。 （二）扭转位移 将式（6-1）（8-2）代入物理方程（3-a），得 K的几何意义： 几何方程 §6-2 椭圆截面杆的扭转 1.求应力函数 2.求应力分量 3. 求位移分量 §6-3 空心圆截面杆的扭转 设空心圆截面杆，外半径为a，内半径为b §6-4 带半圆槽的圆截面杆的扭转 半径为a的圆截面杆，具有半径为b的半圆键槽，求扭转应力。 最大剪应力在A点，A（b，0)，得 §6-5 等边三角形截面杆的扭转 等边三角形截面如图， §6-5 矩形截面杆的扭转 矩形截面等直杆，截面宽为b，长为a， 一. 狭长矩形(ba)的情况 对式（a）积分 应力分量 二. 一般矩形截面的情况 一般矩形的应力函数满足微分方程（6-11），即 由式(a)， 在边界上应满足： 式（d）的通解为： 将上式代入 边界条件，得 将应力函数代入式（6-2），得应力分量 由式（6-5） §6-6 薄膜比拟 对截面形状复杂的柱体的扭转，得到精确解相当困难。 普朗特尔提出了薄膜比拟法来解决复杂截面的扭转问题。 薄膜比拟法是求解扭转问题的一种实验方法。 该方法的成立是由于柱体的扭转和四周张紧的受均匀压力的弹性薄膜遵循相同的数学规律。 比拟的条件是二者的微分方程和边界条件相同。 设有一均匀薄膜，张在一个水平边界上（边界形状和扭转柱体截面形状相同或成比例）。 微单元在Oz轴方向的平衡： 各边的拉力及其在Oz轴上的投影： 薄膜平衡方程： 薄膜与边界平面间的体积为V，则 应力分量: §6-7 薄壁杆件的扭转 教材§8-10, §8-11 (自学) §6-8 等截面直杆的弯曲(补充) 第4章介绍了平面问题下梁的弯曲，本节介绍空间条件下等截面直杆的弯曲问题。 设任意形状等截面的悬臂梁，在自由端受力P作用，力P通过自由端截面的弯曲中心，并与形心主轴Ox平行 ，坐标原点在固定端截面的形心位置。 利用材料力学中的部分结果，设梁无横向挤压，则 由式（1） 边界条件： 引入应力函数 ，使 积分得 边界条件 为使边界上的f值简单，可选任意函数f(y)在侧边界上满足 结论： 例：半径为r的圆截面悬臂梁在自由端受P作用，求弯曲剪应力。 由 将式（D）代入应力分量与应力函数关系式（5），（6）得： 最大剪应力在矩形截面的狭长周边上。 （d） （e） （f） 单位长度扭转角 （g） 狭长矩形是一般矩形中的特殊情况，故一般矩形截面的应力函数中，应包含狭长矩形的应力函数，故选取应力函数： 边界上满足 （6-11） 第一项为狭长矩形的解，第二项为修正项。将上式代入式（6-11），得： 是调和函数。 （a） （b） （c） 采用分离变量法求解。设 代入式（b）得 上式成立的条件是等式两边同为一常数，设常数为 ，得 或 （d） 由对称性可得，X和Y应为偶函数，则 （e） 由边界条件 得 上式两边同乘 ，然后在区间（-b/2，b/2）上对y积分。 （f） 最大剪应力在矩形截面长边边界的中点，如ab，即 通常将最大剪应力简写为 由上式可求单位扭转角 。 与矩形截面的边长a和b的比值有关，其值列在下表中。 0.333 0.74 0.333 很大 0.249 0.77 0.258 2.5 0.312 0.74 0.312 10.0 0.229 0.79 0.246 2.0 0.291 0.7