1989-2004年数学三解析.doc

数学三 1989年—2004年真题解析 目 录 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 1 1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 11 1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 23 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 35 1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 48 1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 61 1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 69 1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 80 1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 91 1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 106 1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 121 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 135 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 152 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 168 2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 185 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 200 2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 215 1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】 【解析】对函数两边对求导,得 令得所以该曲线在点处的切线的斜率为, 所以 切线方程是即为所求. (2)【答案】 【解析】因系数,从而 即幂级数的收敛半径,当时幂级数绝对收敛. 当时得交错级数(条件收敛)；当时得正项级数(发散). 于是,幂级数的收敛域是. (3)【答案】 【解析】个方程个未知数的齐次方程组有非零解的充分必要条件是, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即为方阵时,用判定比较方便. 而 所以当时.所以此题应填:. (4)【答案】, 【解析】由于任何随机变量的分布函数是右连续函数,因此对任何,有 . 对于,有 令 ,得到,其中.又 因在处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此 所以 (5)【答案】 【解析】由切比雪夫不等式,有 . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B) 【解析】由洛必达法则有 . 所以与是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C) 【解析】由不定积分的概念和性质可知, 为常数. 故应选(C). (3)【答案】(C) 【解析】本题考查的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要. 因为对矩阵来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了 的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合. 以3阶矩阵为例,若 , 条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选. 若,则,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确. 这样用排除法可知应选(C). (4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解. 因此,若要拆开阶行列式,则应当是个阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确. 若,则 . 而且存在时,不一定都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式知(C)正确. 注意,行列式是数,故恒有.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D 【解析】设事件“甲种产品畅销”,事件“乙种产品滞销”,则 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为则 “甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D). 三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是型未定式求极限. 设,则当时,.于是 , 令,则时, 所以 , 所以 , 由洛必达法则得 , 所以 . (2)【解析】方法一：先求,再求.由复合函数求导法则, 故 . 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得 . 于是有 . 再对外求偏导数,即得 . 【相关知识点】复合函数求导法则：若和在点处偏导数存在,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点处的偏导数存在,且 . (3)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为 , 特征根为,故对应齐次微分方程的通解为. 设所给非齐次方程的特解为,代入方程,比较系数,得,故所求方程的通解为 为常数