高考大一轮总复习解答题三数列的综合应用.docVIP

高考中数列问题的热点题型 对近几年高考试题统计看，新课标全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大．但自主命题的省市高考题每年都考查，难度中等．考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循． 热点一　等差数列、等比数列的 综合问题 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用． [典题1]　[2015·湖北卷]设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q.已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当d1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn. [解]　(1)由题意， 即解得 或 故或 (2)由d1知，an＝2n－1，bn＝2n－1， 故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋＋＋…＋＋.② ①－②，得Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－. 用错位相减法解决数列求和问题的步骤 第一步：(判断结构) 若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和． 第二步：(乘公比) 设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减) 乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差． 第四步：(求和) 将作差后的结果求和，从而表示出Tn. 技巧点拨 1．分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序． 2．等差数列和等比数列可以相互转化，若数列{bn}是一个公差为d的等差数列，则{abn}(a＞0，a≠1)就是一个等比数列，其公比q＝ad；反之，若数列{bn}是一个公比为q(q＞0)的正项等比数列，则{logabn}(a＞0，a≠1)就是一个等差数列，其公差d＝logaq. 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由已知，得?a2＝2. 设数列{an}的公比为q， 由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q， 又S3＝7，所以＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. ∵q＞1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)，得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2. 又bn＋1－bn＝3ln 2，∴数列{bn}为等差数列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝＝ln 2. 热点二　数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵活运用等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式．其中求通项是解答题目的基础．同时要重视方程思想的应用． [典题2]　[2015·天津卷]已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列． (1)求q的值和{an}的通项公式； (2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和． [解]　(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3， 所以a2(q－1)＝a3(q－1)． 又q≠1，所以a3＝a2＝2. 由a3＝a1q，得q＝2. 当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝2 ； 当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝2. 所以{an}的通项公式为an＝ (2)由(1)，得bn＝＝，n∈N*. 设{bn}的前n项和为Sn，则 Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， Sn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， 上述两式相减，得 Sn＝1＋＋＋…＋－＝－ ＝2－－， 整理，得Sn＝4－，n∈N*. 所以数列{bn}的前n项和为4－，n∈N*. 1．根据所给条件的特点，确定合适的方法求通项，如根据an与Sn的关系求an.根据递推关系求an. 2．根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有分组求和，裂项求和、错位相减法求和等． 　[2017·安徽合肥模拟]已知数列{an＋1＋an}的前n项和Sn＝2n＋1－2，a1＝0. (1)求数