2017博士《现代数学基础》考试复习题.docxVIP

2017级博士生数学复习题判断下面方程的类型并把它化成标准型：证明：因为判别式故方程为双曲型。其特征方程为，则求得特征线是，其中c1，c2为任意常数，作变化 可将方程化成双曲型第一标准型：若再作变换，方程就可化成双曲型第二标准型. 求初值问题的解.解：证明：由特征方程求得两个相互独立的初积分是因此，全特征线都是一些圆的曲线。我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有，且xy=1，即故所求积分曲面的隐式解为写成显式形式为3. 证明卷积定理：若 ，证明：，证明（1）：根据卷积的定义：代入傅里叶变换公式可得 ∴ 证明（2）：所以∴ 4. 叙述MRA的定义。 并解释由MRA所确定的数字滤波器的特征。答：MRA是理解和构造小波的基本框架，也是信号在小波基下进行分解与恢复的基本理论保证，无论是理论分析还是在构造、理解和应用小波方面都起着非常重要的作用。利用MRA，可以将一个复杂的函数分解为几个简单的函数分别进行讨论，这时函数由一个粗糙部分和一系列细节部分构成，粗糙部分对应于信号的低频分量，细节部分对应于信号的高频分量。高频分量时分层的，是在不同分辨率下逐级产生的，由多分辨子空间的Riesz基推导出尺度基，再由尺度基产生小波基，这就形成了构造小波的框架。在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器形成对应关系，这就导致了信号分解与恢复的快速算法的实现。构造SHANNON与HARR小波。并说明与一个尺度函数对应的小波函数是否唯一。（答案只是构造了harr小波）解：haar尺度函数为，计算可得由于，所以因此，haar小波为Haar小波的图形如下所示：用4种颜色制成6颗珠子的项链，可制成多少种？要求有具体的轨道分析过程.证明自然数集合的势等于有理数集合的势依据实参数，确定方程的类型；(2)将上述方程化为标准形式；(3)求这个方程的通解解：（1）当时，为抛物型；当时，为双曲型；（2）当时，原方程化为： 当时，特征方程为=0即有或 假设， 将其分别代入化为：（3）当时，由得到：两边对取积分，则有，再对取积分且对的表达式作转换，得到当时，方程通解为9. 举出这样的函数的例子：它们使得定解问题(a). 有解，这解是否唯一？(b). 无解。解：，为双曲型方程特征方程为：或 假设:化简得到其中，、为任意函数。方程的通解为：代入边界条件由于得到：若有解，则上述等式成立，可假设，解得，有一个解。若无解，则上述等式不成立，令，设G是一个12阶循环群，其生成元为a，问G有几个循环子群，各是多少阶，各子群的生成元是哪个元素？在中，，则的聚点的全体= ，内点的全体= ；在中，，则的内点的全体= ； C[]空间中元素的范数为||x||= ；(E) 空间中元素的内积为= ；(E) 空间中元素的范数为||x||= 。定义在 [0，1]上的下列泛函是线性泛函的有 ：=；②=；③ =1；④ =；是R上的距离吗？为什么？ 线性空间的子集合A={}(为固定常数)是线性子空间吗？为什么？在[-1，1]中，与正交吗？为什么？试证明圆周是一个一维拓扑流形。什么是欧几里得空间？举两个欧几里得空间的例子。