焊接热传导有限差分计算.docVIP

焊接热传导的有限差分计算 在焊接工程中经常遇到的一些问题，如焊接热传导、焊接热应力以及焊过程中的氢扩等问题，可以归结为解某个特定的微分方程。然而只有在十分简单的情况下并且作许多简化的假定，才有可能求得这些微分方程的解析解。事实上，由于实际问题多种多样，边界条件分复杂，用解析法来求微分方程是十分困难的。为了满足生产和工程上需要，必须应用近似计算方法有限差分法和有限单法都是正在被广泛用的两种近似计算方法． 有限差分法从微分方程出发，将区域经过离散处理后，近似地用差分、差商来代替、微商，微分方程和边界条件的求解就可归结为求解一个线性代数方程组，得到的是数值解。 有限差分法的长是：对于具有规的几何特性和均匀的材料特性问题，差分法的程序设计比较简单，收敛性好，计算过程简。限差分的缺点是限于规的差分网格(正方形网格、矩形网格或正三角形网格)，显得死板僵硬。 4.1 均匀网格中函数的导数 在，也可以各不相等。在本节中节点的距离是均匀的，并等于，下节讨论不均匀间距的问题。 图4-1 等网格间距时相邻点的函数值 4.1.1直观法 考察图4-1所示的函数，和是等间距的节点，，亦即，和表示函数值，中间值由赋予x的相应的非整数来表示，例如 在处的直观估计值为 （4-1） 在处时的直观估计值为 （4-2） 如果我们推断这两个式子都是在处的近似值则称它们为单侧差分,(-1)式为后向差分，（4-2）式为前向差分显然，只要利用两侧的两点就可以得到在处较好的估计值 (4-3) 此式称为基于和两值的中心差分，实际上它等于单侧差分的平均值。 中心一阶导数公式为 中心二阶导数为 （4-4） 其精度随变小而提高。 泰勒级法 处的一阶和二阶导数的公式是合理的，是以其相的左边是，右边是，但不能建立更精确的公式。而运用泰勒级数却能做到。 首先考察如图4-1 所示的等距节点的情况并将函数按泰勒级数展开 代表在内某点的四阶导数。同样，函数按泰勒级数展开式中代表在()内某点的四阶导数。 截去()后面诸项时，从这些展开式可得出的前向差分和后向差分公式 式中具有阶的误差项。另一方面，将上述两个泰勒级数展开式相减可得 此式具有阶的截断误差项，虽然此中心差分公式确实具有二阶截断误差，但并不意味着应用它一定得出比具有一阶截断误差的单侧差分公式更为精确的结果。 为了得到处的二阶导数，将上述两个泰勒级数展开式相加 式中误差是级的。2 非均匀网格中函数的导数 观法 在如图所示不等距节点和 的情况下，我们仍然可以做在x = x。处的前向差分与后向差分估计。在处(是在与之间的点)的前向差分估计可用和表示 (4-5) 在处(是的中点)的后向差分用和示为 （4-6） 中心差分为 （4-7） 由于，点是在图中右侧。这时，此中心差分公式是最好的估计值。 图4-2 不等距节点 （4-8） 而对于二阶导数 （4-9） 4.2.2泰勒级数法 和的泰勒级数展开式，并加以处理后，同样也 4.3稳定态热传导问题的有限差分方程 微分方程代法 ,把y, z看成常数时，函数对于的偏导数就是对的普通导数，反之亦然，因而1节和2节中所有求偏导时，必须保持，反之亦然。 1、均匀网格 讨论在求解区域上均匀网格，并具有均匀导热系数的维导热区域。先只考察内部节点，如果所有边界于其一个坐标为一常数，例如的表面上，而且网格系统直接联着边界，那末，只要已知边界温度场问题，就可以求解内部温度场问题。图-3表示了一个典型网格点P及其个相邻点，它们分别记为N，S，E，W，I，O为均匀网格间距。稳定态基本方程为 式中，为内热源，为单位体积内热量产生的速率。利用.1节的结果，可以得到近似式 式中，如果随位或温度而变化，则在P点取值。上式可化为 （4-10） 2．非均匀网格 对于非均匀网格，从P点到N，S，E，W，I和O各点的距离写为，那么，4.2节的公式仍可应用。这样，对于非均匀网格的三维问题，可以认为类似于均匀网格的问题，其稳定态热传导的方程式可以表示为