数学建模～插值及拟合(课件ppt).pptVIP

曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路 第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …,rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ …+amrm(x) （1） 其中 a1,a2, …,am 为待定系数． 第二步: 确定a1,a2, …,am 的准则（最小二乘准则）： 使n个点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离?i 的平方和最小 ． 记 问题归结为，求 a1,a2, …,am 使 J (a1,a2, …,am) 最小． 用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序: a=polyfit(x,y,m) 输入同长度 的数组x，y 拟合多项 式次数 2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x） 1）输入以下命令： x=0:0.1:1; y=[-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 … 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出数据点和拟合曲线的图形 2）计算结果： Ａ = -9.8108 20.1293 -0.0317 用多项式拟合的命令 MATLAB(zxec2) 如何预报人口的增长 人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，并且我们会发现在不同的刊物预报同一时间的人口数字不相同，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。 我国是世界第一人口大国，基本上地球每九个人中就有一个中国人。有效地控制我国人口的增长是使我过全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要。而有效控制人口增长的前提是要认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报。 例:如何预报人口的增长 例如：1949年—1994年我国人口数据资料如下： 年 份xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我国人口增长的规律,预报1999年我国人口数。 模型一：假设人口随时间线性地增加 模型： 参数估计观测值的模型： 拟合的精度: 误差平方和。 可以算出：a = -283.2320 b=0.1480 模型：y = – 1.93 + 0.146 x 则可看成是线性方程,用 polyfit命令计算得： 模型二：指数增长模型 可变为 Y A = + BX a=2.33, b=0.0179 则所求模型为: 程序如下： x=[1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994]; y=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 ]; a=polyfit(x,y,1); x1=[1949:10:1994]; y1=a(2)+a(1)*x1; b=polyfit(x,log(y),1); y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1); plot(x,y,*) hold on plot(x1,y1,--r) hold on plot(x1,y2,-k) legend(原曲线,模型一曲线,模型二曲线) 结论的比较如下表： 年 份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口数 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型一值 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 误 差 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 模型二值 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11.26 12.31 误差 -0.15 -0.06 0.08 -0.23 0.20 0.46 0.36 -0.01 -0.13 -0.51