线性振动近似计算方法 振动力学教材.ppt

子空间迭代法的步骤： 将 作为子空间基的零次近似，记作 ， 左乘矩阵D，得到的矩阵记作 利用 各列的线性组合表示子空间基的一次近似 以 为假设模态，进行里茨法计算，以确定系数矩阵 其中 为由r个列阵 组成的 阶待定系数矩阵 r阶方阵 重复里茨法的计算步骤，化作缩并系统的本征值问题为 解得到r个本征值 和r个本征向量 ，代入 ，则子空间基的一次近似 完全确定，构成 的各个模态满足正交性条件，至此完成第一次迭代。 将 代替 ，代入 进行矩阵迭代法的第二次迭代，得到的矩阵为 利用 各列的线性组合表示子空间基的二次近似 以 为假设模态，再次利用里茨法确定本征值和本征向量，则固有频率和模态的二次近似 完全确定，如此反复进行迭代，直至算出的结果满足精度要求时为止。迭代过程中各阶模态均作归一化处理，使各次迭代的结果之间具有可比性。 例题1 用子空间迭代法计算系统的前二阶固有频率和模态。 解：系统的动力矩阵 选取的前二阶假设模态，归一化后作为子空间基的零次近似 归一化为 对应的系数矩阵 前二阶模态的一次近似为 归一化为 前二阶固有频率的二次近似值更接近真实值 选作： P123-5.8 第五节  传递矩阵法 传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型 多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统. 特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量 （1）轴盘扭转振动系统 （2）梁的横向弯曲振动系统 作业： P123-5.3 第三节  矩阵迭代法 其中 为第 阶固有频率平方的倒数。 一、第一阶模态及固有频率 矩阵迭代法从 形式的本征值问题出发的近似计算方法。它适合于计算系统的最低几阶模态和固有频率。系统的任意阶固有频率 及相应的模态 都必须满足方程。 左乘D矩阵 任意选定系统的一个假设模态 ，它一般不是真实模态，但总能表示为真实模态的线性组合式 再左乘一次D矩阵， 如此迭代k次后， 由于 每作一次迭代，左端括号内第一项的优势地位加强一次。迭代的次数愈多，第二项所包含的高于一阶的模态成分所占比例愈小。 将 作为一阶模态的k次近似，记作 ，则矩阵迭代法的公式为 当迭代次数k足够大，除一阶模态 以外的其余高阶模态成分小于容许误差时将其略去，得 K次迭代后的模态即近似地等于第一阶真实模态。 对 再作一次迭代得 在 和 中，任选第j个元素 和 代入，可算出系统的基频为 在具体计算过程中，除计算基频中的以外，每次迭代均应进行归一化。 即：使每个模态的最后元素成为1，使得各次迭代的模态之间具有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。 例题1 用矩阵迭代法计算系统的基频和第一阶模态。 解：系统的柔度矩阵和动力矩阵 选取 第一次迭代后得到 归一化后为 第二次迭代后得到 归一化后为 归一化后 精确解 终止迭代， 为第一阶模态 利用 和 的最后一个元素计算基频,得 ( ) 4 DA 2.高阶模态及固有频率 可利用同样的方法计算第二阶模态 和频率 。 只要在每次迭代时在试算的假设模态 中将含 的部分剔除，则迭代将收敛到第二阶模态 。利用模态正交性，将式 左乘 ,将 写作 ， 推出 在第一次迭代的公式 中减去第一阶模态成分，将式 代入，得 其中矩阵 迭代公式 进行k次迭代后得 可推知，继续迭代的结果必收敛到第二阶模态和频率。 注意： 用同样方法原则上还可以计算更高阶的模态和频率，但由于计算误差的积累，只有前几阶模态和频率有足够的精度。 与公式 比较， 例题2 用矩阵迭代法计算系统的第二阶模态和固有频率。 解：从例题1已解出 第一次迭代后 选取 归一化后 终止迭代， 为第二阶模态 利用 和 的最后一个元素计算第二阶频率,得 对于高阶