第七章 节 重积分4.pptVIP

②空间物体? ：质量体密度 ρ(x, y, z) ③曲线型物体 L(? ) ：质量线密度ρ (x, y) (ρ (x, y, z)) ④曲面型物体 ? ：质量面密度ρ (x, y, z) 例9. 设球面x2+y2+z2=2及锥面 围成立体?，其质量体密度与立体中的点到球心的距离之平方成正比，且在球面上等于1. 试求该立体的质量. 解：体密度为 ? (x, y, z)=k (x2+y2+z2) (x, y, z)?? 由 得 z y x a 所以 ? (x, y, z)=(x2+y2+z2)/2 z y x a 例10. 一个圆柱面x2+y2=R2介于平面 z=0， z=H之间，其质量面密度等于柱面上的点到原点的距离之平方的倒数，求其质量. 解1. (x, y, z)?? 则 ?= ?1+ ?2 ?2 ?1 x y R R z H ? 且 令?1： ?2： (y≥0) (y≤0) 而 Dxy={(x, y)|?R≤x≤R, 0≤ z ≤H} 在?1上， 故 ?2 ?1 x y R R z H ? 从而 在?2上， 有 所以 解2：取柱面坐标 x=rcos?, y=rsin ?, 则柱面方程为r=R, 柱面上面积元素dS=Rd?dz, 则 ?2 ?1 x y R R z H ? ①设物体体积为 ? : 质量体密度 ρ(x, y, z)，任取P(x,y,z) ∈D,dV （2）力矩与质心 z y x P0 r0 P g dV r z y x P0 r0 P g dV r 质心 1.重积分的几何应用 2.重积分的物理应用 (1).计算体积 曲顶柱体的体积为 计算由曲面 解一 用二重积分 与 xoy 面所围成的立体的体积 由对称性得 例1 解二 用三重积分 计算由曲面 与 xoy 面所围成的立体的体积 例1 投影法 截面法 所围成的立体的体积 解一 （用极坐标） 解二 是柱形区域,用柱坐标 例2 ? dS z n d? ? ②. 空间曲面z=z(x,y),(x,y) ∈D的面积 (1)?: z=z(x, y), 投影区域Dxy且 z(x, y)?C 1(Dxy). Dxy ? x y z 0 (2)?: x=x(y, z), 投影区域Dyz (3)?: y=y(x, z), 投影区域Dxz 球面的面积A为上半球面面积的两倍? 解 例1 求半径为R的球的表面积? 例2：求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a0)内部的那部分面积. y z x 解：A=4A1 ? : Dxy: x2+y2≤ax, y≥0. z y x Dxy ? z y x Dxy ? Dxy: x2+y2≤ax, y≥0. ? A=4A1=2(??2)a2 计算圆柱面 被圆柱面 解 由对称性可知A=8A1 A1 的方程 例5 所截的部分的面积。 例3. 求由抛物线 z=x2 上从 x=1 到 x=2 的一段绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积. 解：?: z=x2+y2 Dxy: 1≤x2+y2≤4 z=x2 2 0 1 x y z Dxy ? Dxy: 1≤x2+y2≤4 一般地，由曲线 z=? (x)(0a≤x≤b)绕 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的面积为 其中 D={(x, y)|a2≤x2+y2 ≤b2} 转化为极坐标有 ③参数方程曲面的面积 ? dS z n d? ? 有 d? =|cos?|dS 或 ? d? dS n M z x y 0 Dxy ?S ? ?S n d? dS ? M ? dS z n d? ? ④曲面面积 以 xy 平面上曲线 L 为准线，母线平行于 z 轴的柱面被曲面 ? :z=z(x, y)所截，位于 ? 与 xy 坐标面之间的部分的面积为 在L上取ds, 则 故有 对弧长曲线积分的几何意义 z x y 0 L (x, y) ds z(x, y) ? ? y z x 例4. 求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a0)内部的那部分面积. 解：A=4A1 0≤x≤a z y x L z y x L 求体积的例子 例5. 求由旋转抛物面y=x2+z2抛物柱面 及平面 y=1所围立体体积. 解：V=2V1 y x z 0 1 x 1 0 z y x 1 0 z y 例6. 求圆柱体x2+y2≤ax(a0)被球面x2+y2+z2=a2截得的含在球面内的立体的体积. 解：V=4V1 y z x z y x D