高考数学难题精萃4.docVIP

培优练习4 1．（☆☆）已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。 2. 已知抛物线C：x2=2py(p0)，O是坐标原点，M(0，b)(b0)为y轴上一动点，过M作直线交C于A、B两点，设S△ABC =mtan∠AOB，求m的最小值。（ －0.5p2 ） 3．给定圆P:及抛物线S:,过圆心作直线,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为,如果线段的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l的方程. 4．已知抛物线，其焦点为F，一条过焦点F，倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，连接AO（O为坐标原点），交准线于点，连接BO，交准线于点，求四边形的面积． 答案： 1. 解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ???tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。 2、－0.5p2 3、解:圆的方程为,则其直径长,圆心为,设l的方程为,即,代入抛物线方程得:,设 有,则 故 ,因此 据等差,,所以即,,则l方程为或. 4．解 当时，． …………………（4分） 当时，令．设，则由 ，① ， ② 消去x得，，所以 ， ． ③ 又直线AO的方程为：，即为，所以，AO与准线的交点的坐标为，而由③知，，所以B和的纵坐标相等，从而轴．同理轴，故四边形是直角梯形．………………（9分） 所以，它的面积为 ．………………（14分）