微分方程建模个例.pptVIP

微分方程建模 1.放水过程 有一个柱状水箱，水平截面积为常数A， 原来水高H，t=0时刻下面一个面积为B的门打开开始放水， 求之后水位与t的关系，何时水放光？ 解： 开门后，水自然向外流，开始快，后来越来越慢， 记t时刻水位为h(t)小门处流速为v(t)，由能量守恒定律， 门口处水的势能要转化成动能，两者相等。 则 在[t，t+△t]之间，-(h(t+△t)-h(t))A=Bv(t)△t， 即体积的变化等于流出的水量。 令△t→0则有 是变量分离的常微分方程。 初始情况是t=0时，h(0)=H, 这就是水位与时间的关系。 在h=0，即水放光时 2.二氧化碳的吸收 空气通过盛有CO2的吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO2的量与 CO2的浓度及吸收层的厚度成正比，今有含CO28%的空气通过厚度 为10cm的吸收层后浓度为2%，求： （1）若吸收层变为30cm厚，出口浓度是多少？ （2）要使出口浓度为1%，应该设多厚的吸收层？ 解： 记吸收层厚度为d，等分n份，每小层d/n厘米。入口浓度为8%，在每小层看吸收量，第一层后被吸收量为：k8%d/n，含量变为： 第二层吸收了 第二层后浓度 = 依此类推，最后第n层后的浓度为 从而n→∞即无限细分通过d厘米后出口浓度 这就是我们要求的表达式。 在通过10cm厚吸收层后浓度为2%：8%e-k*10=2%得到 1.在通过30cm厚吸收层后浓度为8%e-30*ln2/5=8%/26=0.125% 2.要使出口浓度为1%，8%e-d*ln2/5=1%，则d=15cm 引入变量t： 表示厚度的变化， 引入函数f(t)表示通过厚度t后的浓度： 在(t,t+⊿t)中f(t)的增量的相反数即为浓度的吸收量，它与 浓度和厚度成正比： 微分方程解决问题时常用4种方法建立模型： 1.直接分析Δy与Δx之间的关系，建立模型； 2.无限细分利用趋近于e的特殊极限建立模型； 3.把变量和它的各阶导数都看作不同的变量，综合建模。比如运动学中t表示时间，x表示走过的路程， 表示速度， 表示加速度，各看成各量建模。 4.追击问题有特殊的一套建模方法，下面我们介绍几个这种方法的建模例题。 在追击问题里，追击者常瞄着逃跑者而追去，二者之间的坐标 形成一个差向量(x2-x1,y2-y1)，它就是追击曲线的切向量方向。 (x1,y1) (x2,y2) 令Δy=y2-y1， Δ x=x2-x1， 注意到：y’= Δy/Δx 利用这一点，很快就 建立起微分方程来。 导弹打敌舰 一艘导弹驱逐舰在距敌舰a时发射一枚自动跟踪的导弹，与此同时 敌舰以v0a速度向与两船联线垂直的方向逃走，导弹速度是5v0a， 求导弹追击轨迹与击中时间。 解 以两船联线为横轴，驱逐舰为原点建坐标架。 引入单位a，将所有的距离及速度都除以a，方便计算。 O y 1 x P(x,y) Q(1,v0t) 记t=0导弹发射时刻，t时刻敌船在Q，坐标为： (1,v0t)，导弹位置P(x,y)，差向量(1-x,v0t-y) 就是曲线的切向量， 模型里y(t)，x(t)都是t的函数，但是三个 变量不好处理，注意我们要求的是y(x)。 再建立一个y(t)，x(t)，t的关系：t时间里导弹已飞行的距离是可求的。 消去t得到 这个微分方程用我们所学过的知识解不了， 只能用MatLab求解。 语句格式是y=dsolve(‘方程1‘，…，’方程n’， ’初始条件‘，’自变量) 其中 Y’用Dy表示，y’’用D2y表示，…有关情况 可参考吗MatLab的书籍。 求出结果 x=1时y=5/24即为击中位置，击中时间5/(24v0) 四人追击游戏 四个人分别站在一个正方形的四个顶点上，号令一下开始追击，规则是每人分别追击自己前面的一个人（逆时针方向），也就是A→B，B→C,C→D,D→A,假设每个人的速度v始终都相同，最后的结果是怎样的？总用时多少？路线是什么曲线？ B A C D A1 B1 C1 D1 分析：1.追击开始后，大家将进入正方形里面，距离将变小，由于追击的规则及四个人速度和方向的假定，四人还是在某个正方形的顶点上。 2.会不会出现四个人绕一个圆循环追？ 不会！距离会不断缩小最后到一点，就是正方形的中心。追击曲线是四条指向中心的螺旋线（可能绕中心几周） 3.坐标架怎么建？ O点在中心，直角坐标架。 O 如图把A和B的瞬时位置记为P和Q，P的坐标记为P(x,y)， B A C D O P Q x y -y x 考虑Q点的坐标 Q(-y,x), 于是差向量为 按照上题的方法 但x和y都是t的函数，还是建立 X(t)和y(t)的表达式为好。 Δx Δy (-y-x,x-y)