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《应用公式法》典型例题 例题1 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）； （2）； （3）； （4）. 例题2 把下列各式分解因式： ①； ②； ③； ④. 例题3 分解因式： （1）；（2）； （3）； （4）. 例题4 若是完全平方式，求的值. 例题5 已知，求的值. 例题6 已知，，求的值. 例题7 用几何图形的面积来说明． 例题8 能否利用因式分解说明：当n是整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 参考答案 例题1 分析 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.此题，即看是否是三项式，又看是否可凑成的形式，可以按“先两头，后中间”的步骤进行，即先看首末两项是否同号且能写成、的形式，再看中间项能否写成的形式. 解答 （1），，， 能用完全平方公式分解 （2），，， 不能用完全平方公式分解 （3），，但与符号不同， 不能用完全平方公式分解因式 （4）先将多项式整理为： ，，， 能用完全平方公式分解因式. 例题2 解法 ① （提取负号） ② （交换形式，保持项的一致，注意符号） （添加括号，避免出错） （能合并同类项的要合并） ③ （能分解的要继续分解） ④ （先提公因式） （分解要彻底） 说明 解题前需先分析多项式特点，针对特点选择公式. 另外在因式分解时还应注意：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提取，再进一步分解. ⑵分解因式必须进行彻底，如④式，提公因式后，再运用完全平方公式分解，直至每个因式都不能再分解为止. 例题3 分析 从表面看，上面四个多项式都不能直接套公式，但可以根据题目结构特点，把每一个多项式整理成公式原型的形式，再观察、分别相当于题目中的哪些量，从而可以顺利套用公式. 解答 （1） （2） （3） （4） （把看作，把1看作，仍要继续分解，不可忽略） 例题4 分析 根据完全平方公式求待定系数 解答 此多项式是完全平方式， ， 当时，； 当时，. 说明 熟练公式中的、两量便可自如求解. 例题5 分析 将所求的代数式变形，使之成为的表达式，然后整体代入求值. 解答 ， 原式 例题6 分析 这类问题一般不适合通过解方程组求出、的值再代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于与的式子，再整体代入求值. 解答 ，， . 说明 通过因式分解实现转化. 例题7 分析 因为正方形的面积是边长的平方，所以我们把和分别看成是边长为a和b的两个正方形的面积（），故可用正方形的面积来说明这个等式． 解答 如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，所以图形中实线就表示了的面积，再把右边的矩形拼到左边矩形的顶上，就构成了一个长为，宽为的长方形，因此面积为． 故 说明 本题我们找到平方差公式的一个几何图形，这是我们研究数学问题常用的方法——数形结合． 例题8 解答 设两个连续的奇数为， 则 ． ∴当n是整数时是8的倍数，即当n是整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数． 说明 这样的题目在数学典籍和实际生活中并不少见，主要考查思维的延展性和知识的综合应用能力． 2 / 5