波函数与 及薛定谔方程.pptVIP

讨论 基态能量 （1）能量 取分 离谱，即能量是量子化的。 (2)粒子能量最低的态 称为基态 与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的，亦即 的态不存在，无意义。 §2.6 一维无限深势阱（续9） 能谱图 本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： 而导致的。 （5）束缚态——通常将在无穷远处取值为零的波函数所描写的状态称为束缚态。 §2.6 一维无限深势阱（续10） （4）当 为偶数时， ，即 具有负宇称（奇宇称）。 当 为奇数时， ，即 具有正宇称（偶宇称)。 （3） 取负整数与正整数描写同一状态。 §2.7 线性谐振子 在经典力学中，当质量为 的粒子，受弹性力 作用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为： 其解为 。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子称为（线性）谐振子。 经典允许的振动范围 谐振子在运动中能量守恒。 其能量是振幅的连续函数。 1.经典谐振子 谐振子哈密顿量： 引言 谐振子能量： 量子力学中的线性谐振子是指在势场 中运动的质量为 的微观粒子 2.量子谐振子 例如双原子分子，两原子间的势 是二者相对距离 的函数，如图所示。 自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以对简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。 §2.7 线性谐振子（续1） 在 处，有一极小值 。在 附近，势可以展开成泰勒级数： a x V(x) 0 V0 记 若取 ，即平衡位置处于势 点；并记 ，则 §2.7 线性谐振子（续2） Hamilton operator 定态Schr?dinger方程： 1. Schr?dinger方程 （1） 改写成 令 （ 为待定常数） （2） （3） §2.7 线性谐振子（续3） 于是方程（2）可写成 （4） 2. 方程的求解 当 时，方程（4）的渐近形式为 （5） 方程（5）在 处的有限解为 令方程（4）的解 （6） 代入方程（4）可得 满足的微分方程 §2.7 线性谐振子（续4） 本征函数: 用常微分方程的幂级数解法求厄密方程（7）满足有限性条件（8）的有限解，可得厄密方程本征值问题的本征值： (7) (9) 称为厄密多项式 §2.7 线性谐振子（续5） (8) 有限值， （称为厄密方程） §2.3 薛定谔方程 1．微观粒子运动方程应具有的特点 本节研究量子力学的动力学问题，建立量子力学的动力学方程 —— Schr?dinger方程 1926年，薛定谔发明了非相对论量子力学的动力学方程，即薛定谔方程。1933年，与狄拉克共享诺贝尔物理学奖。 奥地利物理学家 薛定谔 （1）含有波函数对时 间的一阶导数 因为 时刻，初态 给出唯一初始条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方程只能含 　　　对时间的一阶导数。 （3）质量为 的非相对性粒子(即低速运动的粒子), 其总能为 §2.3 薛定谔方程（续1） （2）方程必为线性的 由态叠加原理，若　　　　和　　　　是方程的解，那末 　　　　　　　　　 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程中只能包含　及　对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的线性项，不能含它们的平方或开方项。 方程不能包含 、 等经典粒子的状态参量，否则方程只能被粒子特定的状态所满足，而不能为各种可能的状态所满足。 又 （2） （3） （1） 2．自由粒子的运动方程 将（1）和（2）式代入（3）式，得 §2.3 薛定谔方程（续2） （4） 满足运动方程应具有的三个特点，此即为自由粒子的基本运动方程——自由粒子的Schr?dinger方程。 讨论 即可得自由粒子的Schr?dinger方程（4）。 再做算符替换： （5） §2.3 薛定谔方程（续3） 称为能量算符 称为动量算符 从上面引出自由粒子波动方程的过程可以看出， 如果由能量关系式 出发，写出如下等式： 3．势场中运动