数列的极限讲解材料.ppt

一、数列的概念 二、数列的极限;一、数列的概念;例1 数列;数列 可以理解为正整数n的函数，;定义2.2 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有;例如;当n“充分大”时， “无限接近于1”;;当n“充分大时”， 　“无限接近于0”.;定义2.3 设有数列 和常数a，如果对于任意给定的正数ε (不论它多么小)，总存在正整数N，使得当nN时，有 那么就称数列 以a为极限，或者称数列 收敛于a，记作 或 如果这样的常数a不存在，就说数列 没有极限，可表示为 或者说数列 是发散的.;数列收敛于a的几何意义如下：; 当我们把数列 看成是n的整标函数，即 其图形是在平面直角坐标系中的二维点列： 数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么小)，总存在正整数N，当nN时，二??点 都在直线 与直线 形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.;;例5 用定义验证;证 当q=0时，等式显然成立.;;证 对于任意给定的正数 (不妨设0 1)，由于;;定理2.1 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界,即如果;由定理2.1知，无界数列一定是发散的.;第二节 函数的极限;一、自变量趋于无穷大时函数的极限;定义2.4 设函数f(x)在 上有定义，A为一个常数.如果对于任意给定的正数 ，总存在正数Xb，使得当|x|X时，都有;上述的定义的几何意义是:对无论多么小的正数 总能找到正数Ｘ，当x满足条件xX或x–X时，曲线y=f(x)介于两条水平直线　　　　　　　 之间.; 从 及其几何意义可以看出,ε是任意给定的,X是随ε的给定而给定的.;在 的定义中，将|x|X，换成xX可以得到　 的定义；若将|x|X换成x–X就可以得到　　　　　　的定义.;例1;例2 用定义验证 (c为常数).;例3;;二、自变量趋向有限值时函数的极限;定义2.5 设函数f(x)在x0的某去心邻域 内有定义，A为一个常数.如果对于任意给定的正数 (无论它多么小)，总存在正数 ，使得当 时，有;注意： 定义中不等式 的“0”表示不要求不等式 在点 成立，这表明 时 与f(x)在点 的状况(有、无定义，或有定义时， 是否等于A)是无关的.;几何意义： 对于任意给定的正数 ，无论其多么小，总存在点 的一个去心邻域 ，使得函数y=f(x)在这个去心邻域内的图形介于两条平行直线 之间.;例4;例5 用定义验证;在 的定义中，x可以以任意方式趋向于 .有时，为了讨论问题的需要，可以只考虑x从 的某一侧(从小于 的一侧或从大于 的一侧)趋向于 时f(x)的变化趋势，这就引出了左极限和右极限的概念.;在上面的定义中将函数f(x)改为在 的左侧附近有定义(即在 内有定义)，即将 改为 就得到了f(x)在 处的左极限为A的定义.相应地记作;根据 时函数f(x)的极限定义、左极限和右极限的定义，可以得到下面的结论.;函数f(x)在点x=1处的左、右极限都存在，但不相等，;定理2.1(唯一性) 若 (或 )存在,则其极限唯一.;定理2.3 (局部保号性)若 (或 ),则存在正数δ(或正数X),当