五下数学思维第七讲从不定方程的整数解谈起.docVIP

第七讲 从不定方程的整数解谈起 对于形如的方程，寻找整数x、y使之满足方程，称为求不定方程的整数解。这里n是取定的一个自然数。 对于方程 （1） 显见x=y=12是一个整数解。还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。 由，两边减去，得： ； 通分：；因此，，这里x－6大于0。为了使右端的分数形式更简明，我们不妨把x－6看成一个整体，即令t=x-6.那么x=t+6。因此。由于y是整数，上式右边也是整数，所以也必须是整数，这样我们推知：t是62的因数（约数）。 由于是求不定方程的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两个未知数x、y的困难问题，转换成简单的62的因子t的问题了。 一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62的因子有6、1和36，2和18，3和12，4和9。6称为自补的因子。后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为： t0=6,t1=1,t1’=36;t2=2,t2’=18;t3=3,t3’=12;t4=4,t4’=9也即 ，…，， x=6+t,y=+6=t’+6, 的所有解表示成。 这里t和t’是62=36的互补因子（当t=t’=6时自补因子也包括在内），所以 的全部整数解为： 由于x、y地位对等，的情况我们都看成一种了。 以上情况推广到一般情况：求不定方程 （2） 的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t和t’，则 （3） 就可得到全部解。 例如，求不定方程： （即n=12）的整数解，首先分解122=（22×3）2=24×32，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 20 21 22 23 24 30 1 2 4 8 16 31 3 6 12 24 48 32 9 18 36 72 144 按照互补或自补因子配对有：（1，144），（2，72），（3，48），（4，36），（6，24），（8，18），（16，9），（12，12）。 所以共有8种解（）： ； ； ； ； ； ； ； 。 以上是讨论的全部解。自然会想到如果把上式的再分解成两个“单位分数”（分子为1分母为整数“的和，那么我们相当于求： 的整数解，例如求解： ， 可以利用已经求解过的的5种解，再把其中分解成，例如，如此等等。 总之，求也是有路可循的了。特别，如n是质数，。除了p=2以外，p+1是合数。再分裂，例如，利用有因子1和，因此，所以， ； （4） 例如：， ， 。 在这些基本训练基础上，我们很容易把整数1分拆为若干个单位分数之和。 分成两部分，唯一方式：1=+； 分成三部分，只有3种方式：明显的有，先有，再借用这两种分解形式（因为22有互补因子[1，4]，[2，2]）。可有，。 并且可断言只有这三种形式。为证明这一结论，先介绍“推广的抽屉原理”（不妨称平均值原理更确切）：一个（正）数，分放于几个抽屉中，必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值。（注意，这里的数不局限于整数。） 1分拆为三个单位分数之和，必有一部分≥，而≥的单位分数只有和。不妨设≥≥，则=或=，问题转化成： 或 对于前一种情况，，再用推广的抽屉原理，、中，不妨设≥，必有一个≥。只有和两种情况（显然≠）。对于=和，分别必有=和。归之于和的情况。 对于后一种情况，，同样用推广的抽屉原理，有≥×（）=，又≤=，所以=。由=得=-，也归之于三种形式之中。故推断正确。 在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看： （5） [我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式，其实（5）式又可以改变形式写成： ，它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它的具体应用请看习题]。 公式（5）在将整数1分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便。例如可将1分裂为3个分母不等的单位分数之和： 。 而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1分裂成任意多个单位分数之和。如： 1=（2项） =（3项） =（4项） =（5项） =（6项） =（7项） =（8项） =（9项） =（10项） 如果要求你用两种不同的方式把1写成10个单位分数之和，你不妨在分裂成9