二项分布数学期望与方差专题复习word有详解重点中学用.docxVIP

第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3.对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．4.条件概率的加法公式：若B、C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X的分布列为P(ξ＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.(1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)方差：D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．(3)均值与方差的性质：(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X服从两点分布： E(X)＝p ， D(X)＝p(1－p)；X～B(n，p)： E(X)＝np ，D(X)＝np(1－p)典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.例2．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 (　 　)A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的