山东省2011届高三数学一轮复习专题题库：立体几何基础题二_.doc

山东省2011届高三数学一轮复习专题题库 立体几何基础题二 1. 小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1m 的 竹竿影长0.9m ，但当他马上测树高时, 因树靠近一幢建 筑物, 影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所 示. 他测得留在地面部分的影子长2.7m, 留在墙壁部分的 影高1.2m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线） _______. 4．2米 解析：树高为AB ，影长为BE ，CD 为树留在墙上的影高，1.21, 0.9 C D C E C E ∴==CE=1.08米， 树影长BE=2.71.083.78+=米，树高AB= 10.9 BE=4.2米。 2．如图, 正四面体A B C D -（空间四边形的四条边长及两对角 线的长都相等）中, , E F 分别是棱, AD BC 的中点, 则 E F 和A C 所成的角的大小是________. 解析：设各棱长为2，则 AB 的中点为M ， cos 2 M FE ∠=即. 4 π θ= 3．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直 线，点P 到这三条直线的距离分别为3，4，7，则OP 长 为_______. 解析：在长方体OXAY —ZBP C 中，OX 、OY 、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZ ⊥OZ ，PY ⊥OY ，PX ⊥OX ，有 OX 2+OZ 2=49，OY 2=OX 2=9， OY 2+OZ 2=16， 得 OX 2+OY 2+OZ 2=37，OP =37． 4．设直线a 上有6个点，直线b 上有9个点，则这15个点，能确定_____个不同的平面. 解析： 当直线a ，b 共面时，可确定一个平面； 当直线a ，b 异面时，直线a 与b 上9个点可确定9个不同平面，直线b 与a 上6个点可确定6个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面． 5. 在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．求证：EF 和AD 为异面直线. 解析：假设EF 和AD 在同一平面α内，…（2分），则A ，B ，E ，F α∈；……（4分）又A ，E ∈AB ，∴AB ?α，∴B α∈，……（6分）同理C α∈……（8分）故A ，B ，C ，D α∈，这与ABCD 是空间四边形矛盾。∴EF 和AD 为异面直线． 6. 在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别是AB ，AD 的中点，F ，G 分别是CB ，CD 的中点，若AC + BD = a ，AC ?BD =b，求22EG FH +. 解析：四边形EFGH 是平行四边形，…………（4分） 22EG FH +=222 ( EF FG +=2 2 2 11( (2 2 2 AC BD a b += - 7. 如图，在三角形⊿ABC 中，∠ACB=90o，AC=b,BC=a,P是⊿ABC 所在平面外一点，PB⊥AB，M 是PA 的中点，AB⊥MC，求异面直MC 与PB 间的距离. 解析：作MN//AB交PB 于点N ．（2分）∵PB ⊥AB ，∴PB ⊥MN 。（4分）又AB ⊥MC ，∴MN ⊥MC ．（8分）MN 即为异面直线MC 与PB 的公垂线段，（10分）其长度就是MC 与PB 之间的距离， 则得MN= 12 8. 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, A1A=AB， E、F 分别是BD 1和AD 中点. （1）求异面直线CD 1、EF 所成的角； （2）证明EF 是异面直线AD 和BD 1的公垂线. A B N （1）解析：∵在平行四边形11BAD C 中，E 也是1AC 的中点，∴1//EF C D ，（2分） ∴两相交直线D 1C 与CD 1所成的角即异面直线CD 1与EF 所成的角. A 1A=AB，长方体的侧面1111, ABB A CDD C 都是正方形 ，∴D 1C ⊥CD 1 ∴异面直线CD 1、EF 所成的角为90°. （7分） （2）证：设AB=AA1=a , ∵D 1F= , 4 2 2 BF AD a =+ ∴EF ⊥BD 1. （9 分） 由平行四边形11BAD C ，知E 也是1AC 的中点，且点E 是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心，（12分）∴EA=ED，∴EF ⊥AD ，又EF ⊥BD 1，∴EF 是异面直线BD 1与AD 的公垂线. （14分） 9. ⊿ABC 是边长为2的正三角形，在⊿ABC 所在平面外有一点P ，PB=PC= 2 ，PA= 32 ，延长BP 至D ，使E 是 BC 的中点，求AE 和CD 所成角的大小和这两条直线间的距离. 解析：分别连接PE 和CD ，可证PE//CD，（2分）则∠PEA 即是AE 和CD 所成角