走在多向思维大道上.docVIP

走在多向思维的大道上 　　数学教学的本质是思维过程，传统的应试性教学过程不能代替知识形成过程的教学，多向性思维教学既能体现概念的形成过程，活跃课堂的教学气氛，又能使学生学得轻松，这里我结合实例谈谈自己的实践与体会。 　　一、走出单向思维的误区 　　在课外活动时，我引用了一道趣味题：将厚度为0.1mm的纸对折30次后，有多厚？多数同学认为我是在开玩笑，即答，这是一种典型的单向思维的表现，可谓走入了单向思维的误区。但当时，我并没有纠正，而作“不反应”的态度。这样，同学们进行了反思，原来它既是一道与数列相关的问题，又涉及对数计算问题。 　　为什么会走入“误区”，或者是不经意，或者是对题意“对折”的概念搞不清，这些都是单向思维的习惯性反应，类似的实例，在教学中常碰到。 　　二、踏上多向思维的大道 　　例1.设x、x∈R，且x≠x试确定x+xx+x的正负性. 　　貌似简单的命题，最能激发学生的兴趣，多数同学有如下解法： 　　解法一： 　　①若xx=0由于x≠x，所以x与x中有且仅有一个为0. 　　∴x+xx+x＞0； 　　②若xx＞0，显然x+xx+x＞0； 　　③若xx＜0，由于x+xx+x=（x+x）-xx＞0，即 　　x+xx+x＞0； 　　由①②③可知，总有x+xx+x＞0. 　　上解法的③用了配方法，能否只用配方法解决原命题？有： 　　解法二： 　　x+xx+x=（x+）+x.（下解略）这种解法比解法一简便。 　　再问：x≥0，x≥0，则x+x有什么结果？ 　　解法三： 　　x+xx+x＞2|xx|+xx（讨论去绝对值符号得解）. 　　解法四： 　　∵x≠x∴x+x＞2|xx|≥|xx|≥-xx，x+x+xx＞0. 　　同学们热情高涨，说：原来原命题是这样“编”出来的。 　　我再问：难道我们的眼光就只在“数”x、x上转吗？把“数”放回“大本营”――函数中去. 　　解法五： 　　令f（x）=x+xx+x，由于△=x-4x=-3x＜0（x≠0），因此f（x）＞0. 　　三、提高多向思维的能力 　　1.看。集中精力看题材，反复多次默题，仔细理解题意，特别注意命题中的关联词、句、符号的意义（一般地，“，”与“{”表示求交集的意思，“、”与“；”表示求并集的意思）。要高观察能力，“看”是前提。 　　例2是：设a???b，c＜d，2a+3b=2c+3d，d-c≤b-a则a、b、c、d大小排列顺序是?摇?摇?摇?摇. 　　“直看”此题，还真有点眼花，如果按如下重排命题： 　　a＜b，c＜d，2（a-c）=3（d-b），a-c≤b-d， 　　看起来简单多了。 　　由以上方程组可以推出： 　　a＜b，c＜d，（d-b）≤b-d，a-c≤（a-c），?圯a＜b，c＜d，d≤b，a≤c，?圯b≥d＞c≥a. 　　例3:已知a，b∈R，且a+4b=1，求a+4b的最小值. 　　初看此题，是纯代数求最值的问题，易得： 　　解法一：将a=1-4b代入a+4b中，得f（b）=20b-8b+1，则f（b）的值即为所求（下解略）. 　　引导同学：a、b是两个变化的量，则 　　解法二：令x=a，y=2b， 　　则a+4b=x+y=.又观察上式的外表：这是原点的直线x+2y-1=0的距离的平方d=（）=，则即为所求. 　　再把原命题进一步充实，略改已知：a、b∈R，则有 　　解法三：∵a+4b=1，故令a=sinx，4b=cosx，则 　　a+4b=sinx+4×=（4sinx+cosx） 　　=（5sinx-2sinx+1），当sinx=-=时，（a+4b）=. 　　2.实验。数学归纳法中，结论一般从有限次的实验中得来的。 　　例4：在则2#8226;2小方块组成的大正方形内，挖去一小方块 　　 　　后，总能用由三小块组成的“”形块铺满，试证之. 　　 　　面对命题，学生大多束手无策。此时，我要求学生做n=1，2的两种情况的实验，学生很快发现本命题是一道有关数学归纳法证明的习题，但对这样的应用题要用数学归纳法证明，他们会感到生疏，一时不知从何下手。这时我指出：由于图形的对称性，n=2时有且仅有如下三种情况（如图所示）。这时，学生的思维活跃起来（图中阴影部分表示挖去那小块）。 　　假设2#8226;2块正方形中，依题意能够铺满，如何进一步证明2#8226;2块的正方形中也能铺满呢？难点暴露了，我却袖手旁观，学生议论纷纷。片刻，我提示说：“事物总是存在矛盾的两方面‘铺’、‘挖’不是完成这道习题的两个方面吗？”同时指出2#8226;2=4（2#8226;2）学生对右图中的A部分依题设先挖去一块由假设可铺满，但B、C、D三部分只要用一块“L”形块（如图双影表示）先铺好