教学课件 数学分析.pptVIP

* 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点. §2 数集，确界原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号与术语 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记号与术语 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有界集 定义1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 1）若一个数集 有上界 比 大的任何 一个数，都是 的上界，因此， 有一个上界就 有无穷多个上界。 有一个下界就 有无穷多个 下界。 2）一个数集无界，并不是指既无上界也无下界， 而是指它无上界或无下界。 3）任何有限区间为有界集，无限区间为无界集。 4）有限个数组成的数集为有界集。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此 S 无上界. 证 故 S 有下界. 取 L = 1, 例1 例2 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、确 界 定义2 若数集 S 有上界,则必有无穷多个上界,最小的上界称为S上确界. 同样,若S 有下界,则最大的下界称为S下确界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注2 注1 条件(i) 说明 是 的一个上界, 条件(ii)说明 比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上 界,即上确界是最小的上界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义3 注2 注1 由定义,下确界是最大的下界. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 先证 sup S=1. 例2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 求下列数集的上、下确界，并按定义加以验证。 解 1） 验证 验证 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 验证 则 解 2） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 解 3） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4） 验证 验证 从而 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注 1）由上、下确界的定义可见，若数集 存在上、下确界，则一定是唯一的，且 有下确界，则 设数集 2) 数集 的上、下确界可能属于 ，可能不属于 的上、下确界可能属于 例4 设数集 有上确界，则 证明 设 ，则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面验证 确界原理也可作公理,不予证明. 虽然定义了上确界,但并没有证明上确界的 不一定有最小值, 例如 (0, ?) ,(1,2]无最小值. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在性,这是由于上界集是无限集,而无限数集 没有上界的数集，当然没有上确界， 那么，有 上界的数集一定有上确界吗？下面是关于数集确界 的存在问题 三、确界存在性定理 证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起 见,不妨设 S 含有非负数. 定理1.1 ( 确界原理 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明分以下四步: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 是正规小数表示. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不妨设 证法二 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * *