统计量及其分布 《概率论与数理统计》课件技术方案.pptVIP

§4.3 统计量及其分布 我们知道样本是总体的反应，在利用样本推断总体时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆“杂乱无章”的数据。 例5.3.1 从某地区随机抽取50户农民，调查其年收入情况，得到下列数据（每户人均元）： 924 800 916 704 870 1040 824 690 574 490 972 988 1266 684 764 940 408 804 610 852 602 754 788 962 704 712 854 888 768 848 882 1192 820 878 614 846 746 828 792 872 696 644 926 808 1010 728 742 850 864 738 试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大致分析.显然,如果不进行加工，面对这大堆大小参差不齐的数据，你很难得出什么印象.但是只要对这些数据稍事加工，便能作出大致分析：如记各农户的年收入为 ， 则考虑 这样，我们可以从得出该地区农民平均人均收人水平属中等，从可以得出该地区农民贫富悬殊不大的结论.（当然还需要一些参照资料）由此可见对样本的加工是十分重要的. 对样本加工，这在数理统计学中往往通过构造一个合适的依赖于样本的函数----统计量来达到. 若 是样本（ ）的一组观测值 分别为样本均值 和样本方差 的观测值. 设 为二维总体 的样本，则 称统计量 为样本协方差; 称统计量 为样本相关系数，其中 ， . 将 中观测值 从小到大排列成 ,（若 = ,则其先、后次序可任意排），我们规定 为上述样本的这样一个函数：当样本 无论取得怎样一组观测值， 总取其中 为观测值，并称这样定义的 为第个 次序（顺序）统计量.其中特别地称 为最小顺序统计量； 为最大顺序统计量. 若 是从总体 中取出的容量为 的样本 为样本中位数. 二、统计量的分布 统计量是随机变量，统计量的分布称作抽样分布.下面讨论统计量的分布. 1.期望与方差的分布 定理4.3.1设总体 的分布函数 具有二阶矩，即 .若 是取自总体的一个样本，则样本均值 的数学期望和方差分别为 . 利用期望和方差的性质很容易证明. 若假设总体的原点矩 和中心矩 都存在，则样本方差的数学期望和方差依次为 ， . 2. 分布 设