01-1质点运动学－微积分.pptVIP

* 预备知识 微积分初步 函数、导数与微分 一.变量、常量和函数 变量：在某现象或过程重本身的取值会发生变化的量。 常量（恒量）：在某现象或过程中凡取值保持一定的量。 绝对常量：在任何问题中均以确定的数值出现的常量。 例3.5，100，e， 任意常量（待定常量）：数值需要在具体问题中给定 的常量。 函数：有相互联系的两个变量x和y，如果当x在其变域D 内任意取定一数值时，y都有确定的值与之对应，则称y 是x的函数。记作y＝f（x） 变域D称作函数f（x）的定义域，所有的数值构成y的 值域。 复合函数：若y为z的函数，y＝f（z），而z又是变量x 的函数，z＝g（x），则称y为x的复合函数， 记作y＝Φ（x）＝f[g(x)]。 二.导数 设函数y＝f(x)在x＝x0处有增量△x，与此相应，函数y 也发生一增量△y＝f（x＋ △x）－f（x0）， 则△y与△x之比 叫作函数y＝f（x）在x0到x0＋ △x之间的平均变化率。 若当△x→0时， 有极限，则称f（x）在x0处可导， 并把该极限称作f（x）在x0处的导数，记作 也记为 或 即 若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点 都有函数的导数与之对应，于是导数成为自变量的函数， 称作导函数，简称导数，记作 导数基本公式： 导数的基本运算法则 （其中u，v均为x的函数） 三.微分 若函数y＝f（x）在点x处可导，则y＝f（x）在点x处 的导数 与自变量增量△x的乘积称作 y＝f（x）在点x处的微分，记作dy， 将△x记作dx，称作自变量的微分，于是 不定积分 （一）原函数 设f（x）是定义在某一区间上的函数，若存在函数 F（x），使得在这个区间上的每一点有 则称F（x）为f（x）在该区间上的一个原函数。 问题：已知某函数导数，如何求这个函数？ 只要函数f（x）有一个原函数F（x），它就有无穷多个 原函数，彼此间只差一常数，可统一用F（x）＋C表示。 （二）不定积分 定义函数f（x）的所有原函数叫作f（x）的不定积分 记作 （二）不定积分 定义函数f（x）的所有原函数叫作f（x）的不定积分 记作 用F（x）表示f（x）的一个原函数，则f（x）的不定 积分可写作 f（x） —— 被积函数 F（x）dx —— 被积式 X——积分变量 ∫——积分符号 C——积分常数 不定积分的性质： 积分公式： 不定积分的运算法则 问题提出 定 积 分 实例1 （求曲边梯形的面积） 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边 梯形面积． 曲边梯形如图所示， 在区间[a,b]内插入若干 y=f(x) 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积： 当分割无限加细，即小区间的最大长度 实例2 （求变速直线运动的路程） 过程求得路程的精确值． 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分 设某物体作直线运动，已知速度V=V( t )是 求物体在这段时间内所经过的路程. （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 定积分的定义 定积分的定义 记为 被积表达式 积分上限 积分下限 被积函数 积分变量 积分和 注意： * * *