D7-6方向导数与梯度.pptVIP

一、问题的提出 二、方向导数的定义 三、梯度的概念 四、小结 * 第六节 方向导数与梯度 第七章 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题． （如图） 当 沿着 趋于 时， 是否存在？ 记为 证明 由于函数可微，则增量可表示为 两边同除以 得到 故有方向导数 注：公式还有一个变形，设 为 轴正向到 的转角 解 解 由方向导数的计算公式知 故 推广可得三元函数方向导数的定义 解 令 故 方向余弦为 故 结论 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值. 梯度的概念可以推广到三元函数 解 由梯度计算公式得 故 1、方向导数的概念 2、梯度的概念 3、方向导数与梯度的关系 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） （注意梯度是一个向量） 思考题 解答 练 习 题 * * * *