第二节 对坐标的曲线积分11-2.pptVIP

第二节 对坐标的曲线积分 教学内容 1 对坐标的曲线积分的概念与性质； 2 对坐标的曲线积分的计算法； 3 两类曲线积分之间的联系； 考研要求 1 理解对坐标的曲线积分的概念，了解其性质； 2 掌握对坐标的曲线积分的求法 ； 3 了解两类曲线积分之间的联系。 三、对坐标的曲线积分的计算 例5. 求 例6. 设 * 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “分割” “近似” “求和” “取极限” 常力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 1) “分割”. 2) “近似” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 3) “求和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 2.存在条件： 3.组合形式 4.推广 与前面的类似，也可以将其写成向量形式。 若 ?为空间曲线弧 , 记 类似地, 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 即：对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 这是区别对弧长的曲线积分的重要特征. 定理 特殊情形 由此可得定积分的定限原则：起点下限， 终点上限，下限不一定小于上限。 该性质非常有用哦 方法1 参数方程法 方法2 直角坐标法（法1 以 x为参数,法2 以y为参数） 方法3 利用对称性 例2 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 例3 问题：被积函数相同，起点和 终点也相同，但路径不同而 积分结果相同. 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 四 两类曲线积分之间的联系： 其中 （可以推广到空间曲线上 ） *