大学概率论1-4.pptVIP

例3 若有一个均匀的正八面体，其第1，2，3，4面染有红色，第1，2，3，5面染有白色，第1，6，7，8面染有黑色。现以A、B、C分别表示投一次八面体出现红、白、黑色事件，则 例4 将一枚硬币掷二次，A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正反面各出现一次}，则 1.贝努里（Bernoulli） 试验： 试验 E 只有两个结果 3.n重Bernoulli 试验中A恰好发生k次的概率 P{n重贝努里试验中事件A至少发生一次} =1-P{A一次也没有发生} =1-(1-p)n →1 (n→∞) 例6 一大批产品的次品率为0.05，现从中取出10 件．试求下列事件的概率： B={ 取出的10件产品中恰有4件次品 } C={ 取出的10件产品中至少有2件次品 } 所以， 例7 对同一目标进行射击，设每次射击的命中率均0.23，问至少需进行多少次射击，才能使至少命中一次目标的概率不少于0.95？ §1.4 事件的独立性 及贝努里概型 显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。 一、两事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。 由乘法公式，P(AB)=P(B)P(A|B) 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B相互独立。 两事件独立的定义: 例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。 由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件A、B独立。 问事件A、B是否独立？ 解： P(AB)=2/52=1/26。 P(B)=26/52=1/2， 或利用 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立。 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 。 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如： = P(A)- P(AB) P(A )= P(A - A B) A、B独立 故A与 独立。 概率的性质 = P(A)- P(A) P(B) 证明: 仅证A与 独立。 定理：若两事件A、B独立，则 也相互独立。 =P(A)[1-P(B)] =P(A)P( ), 例2 两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率是0.9，乙射中目标的概率是0.8，求目标被击中的概率。 记 A={甲击中目标}, B={乙击中目标}。 二、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B)， 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) , 成立, 则称事件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。 P(A)=P(B)=P(C)=1/2， P(ABC)=1/8 故有P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 但P(AB)=3/8≠P(A)P(B) 第四式不能推出前三式 两两独立 相互独立 对n(n2)个事件 ? A1，A2，A3两两独立但 不相互独立 对独立事件，许多概率计算可得到简化： 例5 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 三、独立性概念在计算概率中的应用 所求为 P(A1+A2+A3)。 记 Ai={第i个人破译出密码} ， i=1,2,3。 已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。 P(A1+A2+A3) =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 则 n个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 P(A1+…