Laplace-算子的特征函数系在三个空间中的完备性.docxVIP

Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性 表示实维Euclid空间，设是中的有界开集，边界适当光滑。空间上的内积记为，范数记为；空间内积记为，范数记为；定义5.1 ,称为Laplace算子.定义5.2 如果存在实数,和非零函数，使得 ，（5.1）则称为算子（或问题（5.1））的特征值,称为对应于特征值的特征函数.例如，(5.2)就是（5.2）的特征值和对应于特征值的特征函数.且有,,在中正交,任意函数在中可用展开成Fourier级数.,（未必相等）,令，则有.系数的记法.定义5.3对实数,如果存在函数,使得（5.3）则称为为算子的（广义）特征值,称为对应于特征值的广义特征函数.显然由定义5.2定义5.3,反之,在一定条件下,定义5.3定义5.2.5.2 特征值的存在性若是（5.3）的特征值与特征函数,则有,,于是我们引入泛函 .由Friedrichs不等式,,.此式说明泛函有正的下界,因此有下确界.如果定义 ,（5.4）则今证明是算子的最小特征值.由下确界的定义,对任意正整数,存在满足（）于是得在中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在的子序列和函数,使得（在中）,，在中弱收敛,再由得,又,故,即存在,,使得（条件极值）下面证明就特征值与特征函数.,对任意根据上式得出即在处达到最小值.由此知得,,即因此,是算子的特征值,为对应于特征值的特征函数.再证是最小的特征值,设是的任意特征值,即存在,使得在此式中,取,得出, .这就证明是的最小特征值.5.3算子的所有特征值 我们可以采用下列方法依次求出算子的所有特征值.,显然,可以证明,存在,,使得,同上面可证,满足即是特征值,为对应于特征值的特征函数.假设我们已经得出算子的个特征值,(),且,（5.5）对应于的特征函数为,（5.6）且.函数组（5.6）的所有线性组合成为的一个线性子空间,叫做组（5.6）在中生成的子空间,记为以表示在中的正交补空间,即.根据泛函有下界性,我们将证明 ,（5.7）就是算子的第个特征值.重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数,使得 ,（5.8） ,（5.9）是算子的第个特征值,为对应于特征值的特征函数.由（5.7）易知.由于是无限维空间,按（5.7）得出算子的特征值的无限序列 ,（5.10）相应的的特征函数序列为 ,（5.11）5.3特征值序列及对应的特征函数系的性质性质1 最小特征值对应的特征函数可以取来满足 .性质2 对应于不同特征值的特征函数在中是正交的.证明 设特征值对应的特征函数分别为,且由此知道,当时,性质3特征值序列（5.10）满足 .证明 由于是单调递增的，只须证明是无界的。假若有界，由，，于是在中有界，利用紧嵌入，得到中存在子列（仍记为）在中收敛，，但当时，，矛盾，所以是无界的。故有。性质4 对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.性质5 特征函数序列（5.11）是空间的基底,即对任意,在中.若,则.众所周知,存在特征值序列和相应的特征函数系，满足这里，, ,,且．可以证明．即在中是标准正交系.其中表示上的范数，表示上的内积.引理3.1.4 (特征函数的性质)特征值问题有如下结论：1)是中的一组正交完备基，对，，．2)是中的一组标准正交基．对，在成立．3)是中的一组正交基．对，成立．证明 对，记，显然与在中正交，，于是，由此，而，所以 。 对任意实数，记，显然与在中正交，，于是，由此，1）任意，；于是是中的一组正交系；对，显然与在中正交，，成立，于是 ，易知，；由于，且与都正交，所以有，，由，得到，对，有在中收敛于；对任意，，于是在中收敛，且在中收敛；故在中收敛于；2）设，对任意，存在，使得， 记，，则有在中收敛于；易知成立，于是，从而得到在中收敛于；或者由，得到在中收敛于；3） 已有，再证，因为，，由2)知，在中．利用估计：对成立，，.故是中的一组正交基．定理 是中的一组正交完全系，证明 任意，；于是是中的一组正交系；若,则. 证明 ；由，可得，；假若，可设，，由于，；所以有，这与矛盾，故，这证明了是是中的一组正交完全系。由于是Banach空间，于是是中的一组正交完备系，即对任意，，记，成立在中收敛于。参考文献[1]Courant, R. and Hilbert,D. 著,钱敏,郭敦仁译.数学物理方法(Ⅰ)[M].北京: 科学出版社,1958.319-355.[2]Smoller,J.,Shock Waves and Reaction-Diffusions[M].Springer-Verlag ,1983.[3]Gilbarg,D.,Trudinger,N.S.著.叶其孝等译.二阶椭圆型偏微分方程[M].上海：