数值分析-第6章-线性代数方程组迭代法.pptVIP

第6章 解线性方程组的迭代法 6.1 迭代法的基本概念 while error=errorBound stepmaxSp x0=B*x0+D*b; % J迭代公式 vChain(k,:)=x0; k=k+1; error=norm(x0-fx0,inf); fx0=x0; step=step+1; end v=x0; sN=step; E=eig(B); if max(abs(E))1 flag=1; else flag=0; end 迭代一次，这个算法需要的运算次数至多与矩阵 的 非零元素的个数一样多. 算法1 (高斯-塞德尔迭代法) 设 ，其中 为非奇异矩阵且 本算法用高斯-塞德尔迭代法解 ， 数组 开始存放 ,后存放 为最大迭代次数. 例6 用高斯-塞德尔迭代法解线性方程组(1.2). 按高斯-塞德尔迭代公式 迭代7次，得 ， （1.2） 取 ， 且 解 方程组的精确解为x*=(1,1,1)T. J迭代法计算公式为 取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得 计算结果列表如下: 解 例7 用J法和G-S法求解线性方程组 可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而且迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解. 1 0.5 0.2 0.071 0.0355 0.01159 0.005795 0.0017636 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 0 0.5 1.20 1.055 0.9645 0.9953 1.005795 1.0001255 0 1.4 1.11 0.929 0.9906 1.01159 1.000251 0.9982364 0 1 2 3 4 5 6 7 ‖x(k)-x*‖? x3(k) x2(k) x1(k) k ‖x (6) -x(5) ‖?=0.011339,‖x(7) –x(6)‖?=0.0056695 同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T, 计算结果为 由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次. 1 0.4 0.0634 0.0048956 0 1.026 0.987516 10 0.78 1.02048 00 1.4 1.0634 0.9951044 0 1 2 3 ‖x(k)-x*‖? x3(k) x2(k) x1(k) k G-S迭代法的计算公式为: 不具有一般性 用J迭代法求上例中方程组的解,取x(0)=(0,0,0)T,若使误差 ??x(k)-x*???10-5,问需要迭代多少次? 由上例知,x(1)=(1.4,0.5,1.4)T, 于是有 ??x(1)-x(0)???=1.4 ,??B???=0.5 . 例8 k应满足 故取k=19, 即需要迭代19次. 解 若使‖x(k) –x*‖? ,只需 ，即 事前估计迭代次数 定理7 设 ，其中 为非奇异矩 阵且 非奇异，则 (1) 解方程组的雅可比迭代法收敛的充要条件是 ， 其中 (2) 解方程组的高斯-塞德尔迭代法收敛的充要条件是 其中 6.2.3 雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代法的收敛性 雅可比迭代法收敛的充分条件是 高斯-赛德尔迭代法收敛的充分条件是 例9：说明用J法和G-S法求解下列方程组的收敛性： 解： 计算特征值： J法不收敛 G-S法的迭代矩阵为 G-S法收敛 其他收敛性结论 1）对角占优矩阵的性质 (1) 如果 的元素满足 称 为严格对角占优阵. (2) 如果 的元素满足 且上式至少有一个不等式严格成立， 称 为弱对角占优阵. 定义6 (对角占优阵) 设 定义7(可约与不可约矩阵) 设 , 如果存在置换阵 使 （2.7） 否则 称 为不可约矩阵. 其中 为 阶方阵， 为 阶方阵 ， 为可约矩阵. 则称 进行一次行列重排 且记 其中 为 维向量. 由上式第2个方程组求出 , 无零元素的矩阵是不可约矩阵。