梯度估计几何分析与几何GradientEstimateGeometric-台大数学系.PDF

丘成桐 中學數學獎專題講座 梯度估計 幾何分析與幾何 丘成桐 哈佛大學 臺大數學系 七月八 日 在還是個大學生的時候 ，我對 定理感到很著 迷 ，該定理說一個拓樸空間上的函數代數 決 定了該空間本身 。 在那之後 ，當學習了代數幾何 ，我見識到代數幾何學家們如何有 效地 以一種具體的方式利用有理函數體 去掌握代數多樣體 的性質 。 當時我想 ： 「如果能在微分幾何 中也做類似的事就太棒了 ！」我 們應該尋找可微流形上 某些適當的函數空間 ，並且把它們的性 質與該流形的幾何聯繫起來 。 如果要類 比於代數幾何 ，對於複流形 ，此時最 自然的考慮對象應 該是全純函數或者是它們的一些變形 ，例如全純線叢的截面 它們是 方程的解 。 然而 ，可微流形上沒有 自然的特定複結構 算子 ，因此需要考 慮橢圓偏微分算子 。唯有對橢圓算子 ，我們才能較強地掌握相應 方程解的正則性及其維度的有限性 。 呼之而出的 自然算子就兩種 ：二階的 ，它們必然是 算子 係數可能有些許變動 ；至於一階的 ，必然是從 理論來 的或者是 係數變動過的 算子 。在 流形上 ， 算 子可以視為帶係數的 算子 。 最單純的算子似乎就是作用於函數上的 算子了 。於是我開始思索這些算子方程的性 質 。它們的解我們稱為調和函數 。 我有興趣的是這些函數的大域 性質 ，其 中最基本的就是 定理 ：定義於整個歐氏空間上的有界調和函數唯有常數 函數 。 因此開始時我很努力地嘗試去了解這個定理 ，這馬上讓我走上了 發展梯度估計 的道路 。事實上 ，證明 定理的方法有很多 ，其 中之一是利用我們在複變函數論 中學到的均值定理或是 類型的積分公式 。 積分公式 但是 ，要推廣這些結果需要對該流形上的幾何假設過多條件 ，因 此得不到任何優美的定理 。 因此 ，我試著尋找只涉及極大值原理 的不同 途徑 。極大值原理對橢圓算子也成立 ，而且事實上 ，有個概念叫 做 「最佳極大值原理」 ，可以用所謂的 不等式證明 。 算子是相當重要的算子 ，