高等动力学-稳定性2-Lyapunov直接法.pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 运动稳定性之-Lyapunov直接法 本节内容 本节的内容适用于定常系统 内容1：V函数 内容2：定常系统的Lyapunov稳定定理 定常系统： 非定常系统： 内容3：非定常系统的不同 内容4： V函数正定的判别方法 单自由度振子的运动稳定性。 显然，当K大于0时系统稳定，当C也大于0时系统渐近稳定。 系统的能量： 能量的导数： 称 为E(x)通过动力学方程的全导数。 如果初始扰动在某个椭圆的内部，由该点出发的轨线不会跑到该椭圆的边界上。 基本思路 分析能量及能量导数的正负变化，可以得出有关系统的运动稳定性的结论，而不需求解系统的微分方程。 根据稳定性的定义证明系统在原点处稳定 1.给定任意小的?，原点的临域B?。 2. B?的内切椭圆的内切矩形即为?区域 系统中能量函数的特点： 1. E(0)=0,E(x)0 2. 一般的系统？ 引入函数V(x): 1. V(0)=0,V(x)0 2. 基本思路 3 .E具有连续一阶偏导数 3 .V具有连续一阶偏导数 设函数V(x)是n维状态空间 原点邻域内的单值连续实函数。 定义一：若 当且仅当 时取零值， ，而对 的邻域内任何 的值恒取正值（或负值），即 时， ，则称 为正定（或负定）函数。正定与负定函数统称为定号函数 定义二：若 当 时取零值， ， 而对 的邻域内任何 的值均不小于（或不大于）零，即 时， ，则称 为半正定（或半负定）函数。半正定与半负定函数统称为半定号函数 定义三：若 当且仅当 时取零值， ，而对 的邻域内任何 的值即可取正值，也可取负值，则称 为不定号函数 一、基本定理：定号、半定号和不定号函数 例： 正定，全空间 半正定，全空间 半正定 正定 半正定 一、基本定理：定号、半定号和不定号函数 不定号 定理一：若能构造一个可微正定函数 ,使得沿扰动方程的解曲线计算的全导数 为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。 一、基本定理：定常系统的Lyapunov稳定定理 例：判断以下系统的零解稳定性： 选择正定的Lyapunov函数： 其全导数为： 系统未扰运动稳定 一、基本定理：例 O 方程的特解： 定义扰动变量： 受扰运动微分方程： 一、基本定理：例-刚体定轴转动 O 定义Lyapunov函数： 可以得出 根据Lyapunov定理：当V正定时系统稳定。 绕最小轴转动稳定。 当 时 一、基本定理：例-刚体定轴转动 一、基本定理：例-轨道稳定性 例：具有单位质量的质点在向心力作用下运动，求圆形轨道稳定的条件 解： 动量矩定理 平面运动 运动学分析 动力学分析 为向心力，设 一、基本定理：例-轨道稳定性 对于半径为a的圆轨道 设扰动为?： 令： 有： 取V函数： 其全导数为： V正定，则圆轨道稳定 V是能量吗？ 一、基本定理：例-轨道稳定性 令： 如果有： F在x1=0处取极小值，V正定 一、基本定理：例-轨道稳定性 若向心力与距离成反比： n小于3时圆形轨道稳定 半径稳定是否意味着运动稳定？ 轨道稳定性 定理二：若能构造一个可微正定函数 ,使得沿扰动方程的解曲线计算的全导数 为负定，则系统的未扰运动渐近稳定。 例：判断以下系统的零解稳定性： 解：状态方程： 取V函数： 系统渐近稳定 一、基本定理：定常系统的Lyapunov渐近稳定定理 若取V函数： 系统稳定 构造合适的V函数的重要性。 定理是判断稳定性的充分条件。 一、基本定理：定常系统的Lyapunov渐近稳定定理 定理三：若能构造一个可微正定、半正定、或不定号函数 ,使得沿扰动方程的解曲线计算的全导数 为正定，则系统的未扰运动不稳定。 例：判断单摆运动平衡位置的稳定性 解：单摆运动的微分方程 引入状态变量 系统的平衡位置： 即： 下垂 倒立 一、基本定理：Lyapunov不稳定定理 1. 下垂位置的稳定性： 扰动变量： 受扰运动微分方程： 取V函数： 显然V在下垂平衡位置下正定。 下垂平衡位置稳定。 一、基本定理：Lyapunov不稳定定理 2. 倒立位置的稳定性： 扰动变量： 受扰运动微分方程： 取V函数： 显然V在倒立平衡位置下正定。 无法判断倒立平衡位置的稳定性。 一、基本定理：Lyapunov不稳定定理