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* 7 平稳时间序列分析 7.1 时间序列的概念 时间序列的定义： 离散参数的随机过程 {Xn, n=0, ±1, ± 2,…}称为随机序列。 当参数集表示时间时，随机序列被称为时间序列。 时间序列是按时间次序排列的随机变量序列。 如果时间序列{Xn, n=0, ±1, ± 2,…}满足 ① E[Xn2]∞；② E[Xn]=m(常数)；③ E[Xn Xn+k]与n无关， k=0, ±1, ± 2,…， 则称{Xn}为平稳时间序列。 平稳序列是二阶矩平稳过程。 7.1 时间序列的概念 时间序列的分解： 每个时间序列，或经过适当的函数变换的时间序列，都可分解成三个部分的叠加，即 Xn=Tn+Sn+Rn, n=0, ±1, ± 2,… 其中，Tn是趋势项，反映了Xn的变化趋势； Sn是周期项，反映了Xn的周期性或季节性变化； Rn是随机项，反映了随机因素的影响。 Tn和Sn是非随机项，是时间的实值函数； Rn一般设是平稳时间序列。 7.1 时间序列的概念 白噪声序列(212-213页例子）： 设{Wn, n=0, ±1, ± 2,…}是一个白噪声序列， 均值： E[Wn]=0， 方差： D[Wn]=σ2 相关函数： 谱密度： 白噪声序列滑动和： 均值： E[Yn]=0 相关函数： 谱密度： 7.2 平稳时间序列的线性模型 常用的时间序列模型(随机差分方程）： 其中，{Wn, n=0, ±1, ± 2,…}是白噪声序列； {Xn, n=0, ±1, ± 2,…} 为零均值平稳时间序列； ?1,?2,…,?p (自回归系数)；?1,?2,…,?p (滑动平均系数)；统称为模型参数； p与q称为模型的阶数。 为讨论方便，不失一般性，假设平稳时间序列的均值为0。 7.2 平稳时间序列的线性模型 当p0, q=0, ?p≠0时，p阶自回归模型 AR (p): 当p=0, q0, ?p≠0时，q阶滑动平均模型 MA(q): 当p0, q0, ?p≠0, ?p≠0时，自回归滑动平均模型 ARMA(p,q): 7.2 平稳时间序列的线性模型 推移算子B及性质 （延迟算子、时滞算子、向后差分算子） 若 有算子多项式 7.2 平稳时间序列的线性模型 用推移算子B表示的时间序列模型 取 有 则 AR (p)简记为 MA(q)简记为 ARMA(p,q)简记为 7.3 平稳时间序列模型平稳性与可逆性 AR (p) 模型的平稳性分析 常系数差分方程： 令 该差分方程的解由一个特解和齐次方程 的通解组成。 设r1, r2, …, rp, 是下列特征方程的根， 则， 7.3 平稳时间序列模型平稳性与可逆性 AR (p) 模型的平稳性分析 差分方程的特解为 齐次方程的通解为 该差分方程的解为 可见，当|ri|1时，即特征方程的根都在r平面的单位圆内，或φ(B)=0的根都在B平面的单位圆外，当n→∞， Xn是渐进平稳的。 也可据July准则，用参数?1,?2,…,?p判断。 7.3 平稳时间序列模型平稳性与可逆性 AR (p) 模型的平稳性分析 两边取z变换，传递函数为 其中，r1, r2, …, rp, 是特征方程 的根。 根据系统稳定性条件，当传递函数的极点ri都应在的单位圆内，即φ(B)=0的根都应在单位圆外。 MA(q)模型平稳 7.3 平稳时间序列模型平稳性与可逆性 ARMA(p,q)模型的平稳性和可逆性条件 对于ARMA(p,q)模型 ，如果φ(B)=0的根全都在单位圆外，则称该模型满足平稳性条件; 称{(?1,?2,…,?p): φ(B)=0的p个根全都在单位圆|B|=1外}是ARMA(p,q)模型 的平稳域。