6.3 动量矩和动量矩守恒定律(2011)上课.pptVIP

一. 动量矩 (角动量) 质点的动量矩 §6.3 动量矩和动量矩守恒定律 ? ? A O . x y z h 其大小 三角形的面积的2倍 质点的动量矩 的分量形式 (1) 质点的动量矩取决于 质点的动量 位矢 — 取决于固定点的选择 说明 (2)当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点O 的 动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的动量矩 O 当质点在平面内运动时 只有两个取向 特例：质点作圆周运动 视为代数量 动量矩随参考点而变 O ? S (3)与力矩类似 质点对某点的动量矩,在通过该点 的任意轴上的投影就等于质点对 该轴的动量矩 例 一质点m，速度为v，如图所示， 此时刻质点对三个参考点的动量矩 m d1 d2 d3 A B C 解 A、B、C 分别为三个参考点, 此时m 相对三个点的距离分别为 d1 、d2 、 d3 求 (质点动量矩定理的积分形式) (质点动量矩定理的微分形式) 质点所受合力矩的冲量矩等于质点的动量矩的增量 2. 质点的动量矩定理 说明 (1) 冲量矩是质点动量矩变化的原因 (2) 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果 3. 质点动量矩守恒定律 ──质点动量矩守恒定律 (2) 守恒条件 讨论 (1) 质点动量矩定理适合于惯性系中一个固定参考点 (3) 动量矩是否守恒与参考点的选择有关 太阳 (5) 开普勒第一定律 质点仅受一个来自于固定点的引力 或斥力 有心力 质点将被限制在与动量矩 的作用， 垂直的平面内运动。 例: 行星 轨迹(椭圆) (4) 常用于解决单摆运动、行星运动 由太阳到行星的矢径，在相同的时间内扫过相等的面积 M ? ? M ? 开普勒第二定律 (6) 证明：一个做匀速直线运动的质点，对任一固定点的动量 矩保持不变 O h 例 证 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 求 θ角及着陆滑行的初速度多大？ 解 引力场(有心力) 质点的对O点的动量矩守恒 系统的机械能守恒 例 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行星， 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面 三. 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 ? 刚体定轴转动的动量矩定理 ? 刚体定轴转动的动量矩 刚体上任一质点对 Z 轴的动量矩都具有相同的方向 转动定律 ? O 所有质元的动量矩之和 动量矩定理 LZ 当 定轴的动量矩守恒定律 比较 注意 碰撞过程中，可以忽略重力 (1) 变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩 说明 当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？ (2) 绕定轴转动的物体系 当 如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的 方向转动 因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能 改变物体的总动量矩 有一转台， M R ω 初始的角速度为ω0 有一个人站在转台的中心， m u 以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去， 人走了t 时间后，转台转过的角度 例 解 求 人和转台组成的系统不受 对竖直轴的外力矩 选(人和转台)为系统 因此，系统对竖直轴的动量矩守恒 在时间t 内， 人走到距转台中心的距离为 一质量为M，长为l 的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆 垂直的光滑水平固定轴，在竖直平面内转动。质量为m的 子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动，若 杆摆动的最大偏角为θ O (1) 子弹入射前的速度v0 (2) 最大偏角θ时，杆转动的角加速度 例 解 求 选(子弹+杆)为研究对象 该系统在子弹入射前后对O点的角动量守恒 杆上摆的过程中，仅有重力矩作功，机械能守恒 (1) (2) 一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 O r ? 昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞, 例 解 求 昆虫沿杆爬行的速度。 作用时间短，可以忽略重力的矩 对于昆虫和杆构成的系统， 合外力矩为零，动量矩守恒 此后杆以此角速 度作匀速转动。 使杆以匀角速度转动 代入得 转动定律 其中 r ? O 旋进(进动，precession) 高速旋转的物体其自转轴在空间 转动