高等动力学16-稳定性1-基本概念.pptVIP

清华大学航天航空学院 王天舒（tswang@tsinghua.edu.cn） 运动稳定性之基本概念 稳定性的分类 系统在受到初始干扰后其运动是否能保持在未受扰运动附近 运动的稳定性意味着运动的可实现性。 最一般意义下，运动可以理解为变化过程。可应用于其它领域。 系统在受到初始干扰后其是否能保持在原来的平衡位置附近 运动稳定性 系统的参数改变后其运动稳定性是否改变 结构稳定性 平衡状态稳定性 平衡状态 若随时间t的变化，状态向量x=(x1,x2,…,xn)T保持不变，即xi=xie（常数），则称这个状态为系统的平衡状态。 研究系统： 显然，平衡状态满足系统动力学方程： 例：单摆的运动 平衡位置 利用相图考查单摆的运动规律： 相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用相空间轨线表示系统运动状态的方法。 相图上每一个点表示了系统在某一时刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的运动轨迹称为轨线。 平衡稳定性的初步概念 对于保守系统，有机械能守恒。 椭圆曲线 限制条件 显然，如果系统的初始扰动很小，则摆将在很小的范围内摆动，即稳定。 如果系统受正阻尼，能量耗散。 摆的运动趋于零，即渐近稳定。 平衡稳定性的初步概念 对于倒立摆，作变量替换： 考查?=?附近： 积分得双曲方程： 当E=0时： 渐近线 当摆倒立时，如果有初始扰动，则永远不能回到倒立状态，即不稳定。 平衡稳定性的初步概念 定义： 在系统： 的平衡状态xe的某邻域， 称为H邻域： 内 (1)对于任意给定的正数 ，总可以找到一个与 和 相关的正数 ，使得当初始状态 满足 时，对于一切 ，恒有 ，则称平衡状态 是稳定的。 所定义的稳定性研究的是初始扰动的问题 定义要求?为任意给定，“无论如何小” 如果改为存在?，则得到定义的为运动有界。 可将xie平移至原点 定义要求系统在H邻域内连续 平衡状态稳定性的定义（Lyapunov） (2)若平衡状态 是稳定的,且 ，则称平衡状态是渐近稳定的。 渐近稳定首先要满足稳定条件 平衡状态渐近稳定和不稳定（Lyapunov） (3)若存在正数 ，使满足稳定定义的 不存在，则称平衡状态是不稳定的。 初始扰动要足够小。 平衡位置稳定性定义的特点 初始扰动出现后，假设没有其它扰动 平衡位置是否稳定，主要看平衡点附近的性质 例1： 平衡点： 稳定 例2： 平衡点： 不稳定 求积分： 判断不稳定仅需一个解即可： 于是有： 指定?0,如欲 ，仅需： 例：不稳定 若初始时刻 ，系统受到干扰，初值由 变为 ，则系统的运动变为： 该运动称为稳态运动的受扰运动。 运动稳定性 稳定 不稳定 渐近稳定 运动稳定性 以受扰运动和未受扰运动的差值作为新变量 ： 因为受扰运动和未受扰运动均应满足系统动力学微分方程。 称为扰动，其初值 称为初扰动。 确定扰动运动的微分方程成为受扰运动微分方程。 无初始扰动 未扰运动等价于受扰运动微分方程的零解 受扰运动微分方程 单摆强迫振动（小幅振动） 方程的解（未扰运动）： 定义扰动变量： 受扰运动微分方程： 例1：受扰运动微分方程 旋转摆： 可以看出系统的特解为： 研究受扰运动： 代入动力学方程，并略去高阶小量，受扰运动微分方程： 例2：受扰运动微分方程 1892年Lyapunov给出了运动稳定性概念的数学定义： 定义一：若给定任意小的正数 ，存在正数 ，对于一切受扰运动，只要其初扰动满足 ，对于所有 ,均有 ，则称未扰运动为稳定的。 定义二：若未扰运动稳定，且当 时均有 则称未扰运动为渐近稳定的。 定义三：若存在正数 ,对于任意小的正数 ,存在受扰运动 ，当其初扰动满足 时，存在时刻 ,满足 ，则称未扰运动为不稳定的。 Lyapunov稳定性定义 Lyapunov稳定性的相平面解释 稳定性是对应于未扰运动的。