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中考题型之五：折叠类问题 【折叠类题型的特点】 图形折叠类问题，它主要考查学生的动手操作与空间想象能力，综合考查了学生的分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神和实践能力的特点，已成为中考的一个热点。图形的折叠实际上就是对称变换，或者说是翻折，主要是通过折叠图形，构造的图形的轴对称性来解决问题。这类问题大都与圆、全等三角形、相似三角形、勾股定理、轴对称、矩形的判定等联系在一起，内容丰富，解法灵活，具有开放性，这类问题以折痕这载体，变化多端，内容丰富、解题灵活等特点。 【折叠类问题的解题方法】 解决这一类问题，需考虑折叠前后哪些量相同，哪条线折叠到什么位置、哪个角折叠到哪里；变形的过程中，哪些量变化了。此类折叠问题常常与圆的切线、三角形的外接圆、全等三角形、相似三角形、勾股定理、轴对称、矩形的判定等联系在一起。在解答这类问题时，一般先作出折叠前后的图形形状及位置，然后再利用轴对称性质和其他相关知识进行解题。关键是弄清折痕的特点,认识到折痕两边的部分是全等的。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系。折叠前后的两个图形是关于折痕轴对称的全等形，有对应角、对应边及直角三角形出现，结合勾股定理以及方程思想来解决。 【折叠类题型的分类】 折叠主要以手工操作为主，通常是将某个图形沿着某条直线折叠，得到新的图形，由于这类题目具有相同的特点，只不过按所要求的结果不一样，根据结论的要求，一般有这几类：（1）平面展开图与折叠，有正方体，长方体、圆柱、圆锥及三棱柱的展开图，也可将一个平面图形折叠成以上的几种立体图形。（2）平面图形的对折，即沿某一条直线对折出的复杂题型，多以求角度，求线段的长度，面积，点的坐标，函数解析式，判断几何图形的形状等为主。（3）拼接，将一个平面图形进行剪裁，重新拚凑成一个新的图形，再进行相关的计算。 【例1】如图所示的矩形包书纸中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四个角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度. （1）设课本的长为a cm，宽为b cm，厚为c cm，如果按如图所示的包书方式，将封面和封底各折进去3cm，用含a，b，c的代数式，分别表示满足要求的矩形包书纸的长与宽； （2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典，你能用一张长为43cm，宽为26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由. 解：（1）矩形包书纸的长为：（2b+c+6）cm，矩形包书纸的宽为（a+6）cm. （2）设折叠进去的宽度为xcm，分两种情况： ①当字典的长与矩形纸的宽方向一致时，根据题意，得 2.5. 所以不能包好这本字典. ②当字典的长与矩形纸的长方向一致时，同理 可得，≤-6. 所以不能包好这本字典. 综上所述，所给矩形纸不能包好这本字典. 【例2】（2010达州中考）如图，将一矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点E处，折痕为MN，图中有全等三角形吗？若有，请找出并证明. 解：有,△ABN≌△AEM. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC，∠B=∠C=∠DAB=90° ∵四边形NCDM翻折得到四边形NAEM， ∴AE=CD，∠E=∠D=90°,∠EAN=∠C=90° ∴AB=AE，∠B=∠E， ∠DAB=∠EAN，即：∠BAN+∠NAM=∠EAM+∠NAM， ∴∠BAN=∠EAM. 在△ABN与△AEM中， ∴△ABN≌△AEM. 【例3】如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示） 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离； （2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度； （3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH 解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长， 又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝300，∴BC=5cm， ∴平移的距离为5cm。 【例4】在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）． 请解答以下问题： （1）如图2，若延长