2010高考三角函数解答题.docVIP

三、解答题： 1．（2010年高考山东卷理科17）（本小题满分12分） 已知函数，其图象过点（,）． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（,），所以有 ，即有 =，所以，解得. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以 ==， 所以=，因为x[0, ]，所以， 所以当时，取最大值；当时，取最小值. 【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。 2．（2010年高考福建卷理科19）（本小题满分13分） .，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 【解析】如图，由（I）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇. 设，OD=， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和， 所以，解得， 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为. (II)设小艇与轮船在处相遇，依据题意得， ， （1）若则由 得.从而，. ①当时，令，则，，当且仅当，即时等号成立. ②时，同理可得，. 由①，②得，当时，. （2）若 ，则. 综合（1）（2）可知，当时，取最小值，且最小值为， 此时，在中，，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇. 3 .(2010年高考天津卷理科17) (本小题满分12分) 已知函数. (1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值： (2)若，，求的值. 【命题意图】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力。 【解析】（1）由，得 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又 ，所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （2）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 . 4. (2010年高考数学湖北卷理科）小题满分分已知函数．求函数的最小正周期求函数的最，并求取得最大值的的集合．）是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 . (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）. 6．（2010年高考广东卷理科16）（本小题满分14分）在时取得最大值．　(1)?求的最小正周期；(2)?求的解析式；(3)?若,求．? 【解析】 ? ，，，，．(本小题满分10分) 已知的内角及其对边，满足，求内角． 证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式. （Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC. 9．（2010年高考江苏卷试题17）（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔的高度(单位：），如示意图，垂直放置的标杆 BC的高度，仰角,，. 该小组已经测得一组、的值，算出了tan=1.24，tan=1.20，请据此算出的值； 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为，试问为多少时，最大？ [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1），同理：，. AD—AB=DB，故得，解得：. 因此，算出的电视塔的高度H是. （2）由题设知，得， ，（当且仅当时，取等号） 故当时，最大. 因为，则，所以当时，最大. 故所求的是. 10．（2010年高考陕西卷理科17）（本小题满分12分） 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点. 现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？ 解 由题意知AB=海里， ∠?DAB=90°—60°=30°，∠?DAB=90°—45°=45°， ，在中，由正弦定理，得 ， . 又，海里， 在中，由余弦定理，得 ， 海里，则需要的时间小时. 答：救援船达到D点需要小时. 注：如果认定是直角三角形，根据勾股定理正确求出，同样给分. 11．(2010年高考北京市理科15)（本小题共13分）www.@ks@5 已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最大值和最