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2018-11-26 发布于天津
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一类旋转体体积计算法∫b.PDF

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一类旋转体体积计算法∫b

第 17 卷第 4 期工　科　数　学 . 17, №. 4 V ol 2001 年 8 月 JOU RNAL O F M A TH EM A T ICS FOR T ECHNOLO GY A ug. 2001 一类旋转体体积计算法唐月红 (南京航空航天大学理学院, 南京 210016) 　　[摘　要] 对极坐标表示的面积绕轴旋转的体积计算问题分别从积分元素法、. 定理及球坐标下 P Guldin 三重积分计算, 给出三种计算方法. 本文不仅导出了一类旋转体体积的简单计算公式, 而且其中的解题思想方法有助于学生提高解题能力和数学素养. [ 关键词] 高等数学; 体积; 极坐标 [ 中图分类号] O 1722　　[ 文献标识码] C　　[ 文章编号] (2001) 一般高等数学教材中均给出了由直角坐标表出面积的旋转体体积计算公式. 即, 面积 ≤ ≤ , 　0 ≤ ≤ ( ). a x b y y x 绕 ox 轴旋转所成旋转体的体积为 b V = y 2 (x ) dx , ( 1) ∫ a 式中y (x ) 为单值连续函数. 绕 oy 轴旋转的情形与此相类似. 我们常常还会遇到极坐标表出面积绕轴旋转的体积计算问题, 即, 求把面积S 0 ≤ ≤ ≤ ≤ , 　0 ≤ ≤ ( ) r r 绕极轴旋转所成的体积 . 式中 = ( ) 为单值连续函数, 若用直 V r r 角坐标方程表出往往是多值的. 高等数学教材中并未涉及这一问题. 以下导出它的计算方法. 方法之一: 积分元素法. ( ) 求圆扇形 i 0 ≤ ≤ ≤ ≤ , 　0 ≤ ≤ r R ( ) 绕极轴旋转所得体积 V 1 见图 1 . 变换到直角坐标系, 注意到式图 1 ( ) 1 , 有 R co s 2 2 2 2 　　　　 = ( ) ( ) + (