2019版高考数学（文）优选（全国通用版）讲义：第28讲等差数列及其前n项和+Word版含答案.docxVIP

第28讲　等差数列及其前n项和考纲要求考情分析命题趋势1.理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.2017·全国卷Ⅰ，172017·全国卷Ⅱ，172017·江苏卷，192016·浙江卷，81.利用公式求等差数列指定项、前n项和；利用定义、通项公式证明数列是等差数列．2．利用等差数列性质求等差数列指定项(或其项数)、公差；利用等差数列的单调性求前n项和的最值.分值：5～7分1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的前一项的差等于__同一个常数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示，定义表达式为__an－an－1＝d(常数)(n∈N*，n≥2)__或__an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)__.(2)等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝____.2．等差数列的有关公式(1)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是__an＝a1＋(n－1)d__.(2)等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝__na1＋d__或Sn＝____.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋__(n－m)d__(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__ak＋al＝am＋an__.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则也是等差数列，公差为__2d__.(4)若{an}，{bn}是等差数列，公差为d，则也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为__md__的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(7)S2n－1＝(2n－1)an.(8)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　√　)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　√　)(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　×　)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　)解析　(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列．(2)正确．如果数列{an}为等差数列，根据定义an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2，则an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根据定义知数列{an}为等差数列．(3)正确．当d0时为递增数列；d＝0时为常数列；d0时为递减数列．(4)错误．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有当d≠0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，否则不是．(5)错误．等差数列的前n项和公式Sn＝na1＋d＝n2＋n，显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数，否则不是(甚至也不是n的一次函数，即a1＝d＝0时)．2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　C　)A．　　B．1　　C．2　　D．3解析　由－＝1，得－＝(a1＋d)－＝＝1，所以d＝2.3．在等差数列{an}中，a2＋a6＝，则sin＝(　D　)A．　　B．　　C．－　　D．－解析　∵a2＋a6＝，∴2a4＝.∴sin＝sin＝－cos＝－.4．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　B　)A．58　　B．88　　C．143　　D．176解析　S11＝＝＝88.5．在数列{an}中，若a1＝1，an＋1＝an＋2(n≥1)，则该数列的通项an＝__2n－1__.解析　由an＋1＝an＋2知{an}为等差数列，其公差为2，故an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.一　等差数列基本量的求解(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．【例1】(1)在等差数列