2019版高考数学（文）优选（全国通用版）讲义：第18讲同角三角函数的基本关系与诱导公式+Word版含答案.docxVIP

第18讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲要求考情分析命题趋势1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2016·全国卷Ⅲ，52016·四川卷，112015·重庆卷，9利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换；解决三角形内的相关问题.分值：4～5分1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__sin2α＋cos2α＝1__.(2)商数关系：__tan α＝__.2．三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝__cos_α__，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝__－sin_α__，cos(π＋α)＝__－cos_α__，tan(π＋α)＝__tan_α__.公式三：sin(－α)＝__－sin_α__，cos(－α)＝__cos_α__，tan(－α)＝__－tan_α__.公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝__－cos_α__，tan(π－α)＝－tan α.公式五：sin＝__cos_α__，cos＝__sin_α__.公式六：sin＝__cos_α__，cos＝__－sin_α__.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)120°角的正弦值是，余弦值是－.(　×　)(2)同角三角函数关系式中的角α是任意角．(　×　)(3)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(　×　)(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与α的大小无关．(　√　)解析　(1)错误．sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝，cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.(2)错误．在tan α＝中α≠kπ＋，k∈Z.(3)错误．对于正、余弦的诱导公式角α可以为任意角，而对于正切的诱导公式α≠＋kπ，k∈Z.(4)正确．诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角α都看成锐角时原函数值的符号，因而与α的大小无关. 2．tan 330°＝(　D　)A．　B．－　C．　D．－解析　tan 330°＝tan(360°－30°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　A　)A．－　B．－　C．　D．解析　将sin α－cos α＝的两边进行平方，得sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝，即sin 2α＝－.故选A．4．若tan α＝2，则的值为(　C　)A．－　B．－　C．　D．解析　＝＝＝.5．cos－sin＝____.解析　cos－sin＝cos＋sin＝cos＋sin＝cos＋sin＝＋＝.一　同角三角函数关系及其应用同角三角函数关系在解题中的应用(1)利用方程思想，对于sin α，cos α，tan α，由公式sin2α＋cos2α＝1，tan α＝，可以“知一求二”．(2)利用方程思想，对于sin α±cos α，sin αcos α，由下面三个关系式(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2，可以“知一求二”．(3)sin α，cos α的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sin αcos α的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解．【例1】 (1)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α＝(　D　)A．　B．－　C．　D．－(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝____.解析　(1)因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，则tan α＝＝－.(2)原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝＋＝.【例2】 (1)已知tan α＝2，求值：①；②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.(2)已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝，求sin θ－cos θ的值．解析　(1)①＝＝＝－1.②4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝＝1.(2)∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，∴sin θcos θ＝－0.∵θ∈(0，π)，∴sin