2019版高考数学（文）优选（全国通用版）讲义：第16讲导数与函数的综合问题+Word版含答案.docxVIP

第16讲　导数与函数的综合问题考纲要求考情分析命题趋势1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题．2．会利用导数解决实际问题.2017·全国卷Ⅰ，212017·全国卷Ⅱ，212016·四川卷，21考查导数在研究函数中的应用，并应用导数的方法探求一些与不等式、函数、数列有关的综合问题，题目难度较大.分值：12～14分1．生活中的优化问题通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路3．导数在研究方程(不等式)中的应用研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式．反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．4．导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型(1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．(2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题．(3)把方程解的问题转化为函数的零点问题．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．(　×　)(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．(　√　)(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．(　√　)(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”．(　×　)2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　C　)A．13万件　　　B．11万件C．9万件　　　D．7万件解析　y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)，当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最大值，即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．3．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续，且f′(x)g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　A　)A．f(a)－g(a)　　　B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)　　　D．f(b)－g(a)解析　设F(x)＝f(x)－g(x)，F′(x)＝f′(x)－g′(x)0，∴F(x)在[a，b]上是减函数．∴F(x)在[a，b]上的最大值为F(a)＝f(a)－g(a)．4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__(－2,2)__.解析　由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)f(1)＜0，即(a＋2)(a－2)＜0，故a∈(－2,2)．5．若f(x)＝，0abe，则f(a)，f(b)的大小关系为__f(a)＜f(b)__.解析　由题意可知，f′(x)＝，当x∈(0，e)时，＞0，即f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上递增，又0＜a＜b＜e，∴f(a)＜f(b)．一　利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题的步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题回答解决方案．注意：解决此类问题要根据实际问题的意义确定出函数的定义域．【例1】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．解析　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．由h0，且r0，可得0r5，故函数V(r)的定义域为(0,5)．(2)因V(r)＝(300r－4r3)，所以V′(r)＝(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因为r2＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)0，故V