高一数学培优专题2010-6.DOCVIP

厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,r为内切圆半径，R为外接圆半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π， 2．边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b， a－b c，b－c a，c－a b． 3．边与角关系： 正弦定理； 余弦定理； c2 = a2+b2－2bacosC， b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA． 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，． 3）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB， b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋b·cosA． 4）面积公式： （二）、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形 由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 而．有：，． 2.常用的恒等式： （1）sinA＋sinB＋sinC＝4coscoscos； （2）cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinsinsin； （3）sinA＋sinB－sinC＝4sinsincos； （4）cosA＋cosB－cosC＝－1＋4coscossin． 3．余弦定理判定法：如果c是三角形的最大边，则有： a2＋b2＞c2 三角形ABC是锐角三角形 a2＋b2＜c2 三角形ABC是钝角三角形 a2＋b2=c2 三角形ABC是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。 条件 角角边 边边角 边边边 边角边 适用定理 正弦定理 正弦定理或余弦定理 余弦定理 余弦定理 其中“边边角”（abA）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数： A90° A≥90° a≥b ab ab a≤b absinA a=bsinA absinA 一解 两解 一解 无解 一解 无解 (四)积化和差公式 ； ； ； (五)和差化积公式 ； ； ； （一）课前练习 （1）中，A、B的对边分别是，且，那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定 （2）在△ABC中，A=60°,b=1,面积为， 则= . （3）在中， ，则＝_____ (4)在中，分别是角A、B、C所对的边，若，则＝____ （5）在中，若其面积， 则= 答案：（1）C；（2）（3）（4）（5）； （6）在中，，这个三角形的面积为，则外接圆的直径是_______ （7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，= ，的最大值为 （8）在△ABC中AB=1，BC=2，则角C的取值范围是 （9）设O是锐角三角形ABC的外心，若，且的面积满足关系式，求． 答案：（6）；（7）；（8）；（9）； 例题精讲： 在△ABC中，已知，， B=45( 。求A、C及c 解法一：由正弦定理得： ∵B=45(90( 即ba ∴A=60(或120( 当A=60(时，C=75(， 当A=120(时，C=15(， 解法二：设c=x由余弦定理 将已知条件代入，整理：， 解之：, (1)当时 从而A=60( ，C=75( (2)当时同理可求得：A=120( ，C=15( 例2.已知三角形的一个角为60°，面积为10cｍ2，周长为20cｍ，求此三角形的各边长. 解析：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得 由①式得：b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④ 将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0 再将③代入得a＋c＝13 由 ∴b1＝7，b2＝7 所以，此三角形三边长分别为5cｍ，7cｍ，8cｍ。 例3. △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边. 已知tanA+tanB+=tanA·tanB·， (1)求∠C的大小；(2)若c=，△ABC的面积S△ABC=，求a+b的值. 解析；(1)tanC=－tan(A+B)=－ =－=.∵0°＜C＜180°，∴C=60°. (2)由c=及余弦定理，得a2+b2－2abcos60°=()2. 又由S△ABC=absin60°=， 整理得∴(a+b)2=，即a+b=. 例4.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长。 解析：设BC边为ｘ，则由D为BC中点， 可得BD＝DC＝， 在△ADB中，cosADB＝ 在△ADC中，cosA