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第2章 时域离散信号和系统的频域分析 对于离散时间系统—— 时域分析方法采用差分方程描述 频域分析方法则用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 本章主要内容： 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换 分析信号和系统的频域特性。 ? 2.1 序列的傅里叶变换的定义及性质 ? 2.2 序列的Z变换 ? 2.3 系统函数与频率响应 2. 1?序列的傅立叶变换的定义及性质 一、序列的傅里叶变换的定义 众所周知，连续时间信号x(t)的傅里叶变换定义为： 而X(jΩ)的傅里叶反变换定义为 离散时间信号x(n)的傅里叶变换定义为 反变换 在物理意义上，X(ejω)表示序列x(n)的频谱，ω为数字 域频率。 X(ejω)一般为复数。 值得注意的是，式中右边的级数并不总是收敛的，或者 说并不是任何序列x(n)的傅里叶变换都是存在的。 只有当序列x(n)绝对可和 式中的级数才是绝对收敛的，或x(n)的傅里叶变换存在。 二、常用序列的傅里叶变换 1.单位脉冲序列 其傅里叶变换为 二、序列的傅里叶变换的性质 1.线性 设 则 式中a，b为常数。 2.时移与频移 设 ，则 时移特性 频移特性 3.周期性 序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 4.对称性质 设一复序列，如果满足 则称序列为共轭对称序列。 如果满足 ，则称序列为共轭反对称序列。 比较：对于实序列中偶对称和奇对称的定义。 1）任一序列可表示为共轭对称序列与共轭反对称序列 之和（如是实序列，就是偶对称序列和奇对称序列之和） 类似地，序列的傅里叶变换 可以被分解成共轭对 称与共轭反对称两部分之和。 2）DTFT的对称特性（同学们自己证明） 若x(n)为实序列，则 推论 对于实序列的 DTFT，要画出 X(ejω)的幅频特性，只需 要 X(ejω)半个周期即可，通常在实际中是选择ω∈[0,π ] 的 部分。 5.时域卷积定理 若 ， 则 6.频域卷积定理（复卷积定理） 若 ， 则 7.帕斯瓦尔（Parseval）定理 信号时域的总能量与频域中的总能量是一样的。 三、MATLAB实现 例2-1 ， ，求离散时间傅里叶 变换并探讨其周期性。 解：因为x(n)是复值的，它只满足周期性，被唯一地定 义在一个2? 周期上。以下程序是在[-2?，2?]之间的两个周期 中的401个频点上作计算以观察周期性。 n = 0:10; x = (0.9*exp(j*pi/3)).^n; k = -200:200; w = (pi/100)*k; X = x * (exp(-j*pi/100)) .^ (n*k); %用矩阵-向量乘法求DTFT magX = abs(X); angX =angle(X); subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]); 例2-2 解： 不仅对 对称，而且是共轭对称的。因此， 对实序列，我们只需画出它们从（0??）间的傅里叶变换的 模和相角响应。 2.2 序列的Z变换 序列的傅里叶变换——频域分析； 推广：序列的Z变换——复频域分析。 一、序列x(n)的Z变换定义及收敛域 其中，Z是复变量。 也可将x(n)的Z变换表示为 Z[x(n)]=X(z) 对于任意给定的序列，使Z变换收敛的z值集合称作收敛 区域。级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件即： 一般来说，Z变换将在z平面上的一个环形区域中收敛， 收敛域为 式中，Rx-和Rx+称为收敛半径。Rx-和Rx+的大小和序列有密切 的关系。 例2-3 求序列 和 的Z 变换。 解： 二、序列的形式与其Z变换收敛域的关系 序列x(n)的形式决定了X(z)的不同的收敛区域 1．有限长序列 这类序列只在有限的区间（n1≤n≤n2）具有非零的有 限值。 其Z