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* 例1: 可逆的， 解: （１）根据分块矩阵的乘法，得 （２）由（１）可得 例2：判断下列命题正确与否. 1、任何矩阵有逆矩阵和伴随矩阵吗？ 2、设A为n阶可逆矩阵，则 （1）(A * )-1= (A –1)* （2）(AT ) * = (A * )T 吗？ 3、设A、B为n阶方阵，则(AB )* =B * A *吗？ 4、设A为n(n 2 )阶矩阵，则 （1）(kA) * =kA * （2）(A * ) * =A 吗？ 5、设A、B为n阶矩阵，则 （1）(A+B )-1 =A -1 +B -1 （2）(A+B )* =A * +B * 6、设A、B为n阶方阵，且满足 A+B=AB 证明A-E为可逆矩阵； B-E为可逆矩阵. 解 1、n阶方阵A的行列式 A 不等于0时，才有逆矩阵，只有方阵才有伴随矩阵. 2、正确. 这是因为 （1）A * = A Ａ-1 ，故 所以(A* )-1=(A –1)* 又 (Ａ-1 ) * ＝Ａ-1 (Ａ-1 ) -1 ＝Ａ -1Ａ （２）设Ａ=(aij) ， aij在 A 中的代数余子 (A *) =(Aji) =(Aij)， 所以 (A) * =(A* ) 3、正确 式为Aij，则 又(A )* = (aij)* =( Aij ) 知 4、不正确.由第1题的公式和证明过程， 所以 (kA)* =kn-1 A * 又若A可逆，则 A * = A A-1 故 所以 (A * )* = 若A不可逆，上式仍成立，证明略. 5、不正确 （1）如果A=E，B=-E，这时A+B=0，故A+B不可逆 （2）如果A=E， 则A *=E， 又 且 显然 6、（1）由 A+B=AB 有 AB-A-B+E=E (A-E )( B-E )=E 即 所以由性质2知A-E可逆，且 (A-E )-1=B-E （2）同理可知B-E可逆，且 ( B-E )-1=A-E 即 A=E+ ( B-E )-1 例3： 解: *
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